Besedilo naloge:

Nariši graf funkcije $f(x)=\frac{1}{x}$ in določi presečišče grafa s premico $y=-2$.

Viri:

Poklicna matura, avgust 2004: 3. naloga
Pola poklicne matur 2004

Graf funkcije je v matematiki osnovni način za prikaz funkcije. Graf funkcije f je definiran kot množica urejenih parov (x,y), za katere velja med komponentama zveza y = f(x).

Presečišče je v splošni izraz za skupno točko dveh funkcij, v mojem primeru presek premice in funkcije. Presečišče dveh funkcij izračunamo tako, da izenačimo enačbi obeh funkcij: f(x)=y.

Opis problema:

Najprej na listu papirja izračunamo $x$ po zgornjem postopku.
$\frac{1}{x}=-2$
$x=\frac{-1}{2}$

V GeoGebro narišemo graf funkcije $f(x)=\frac{1}{x}$. Narišemo še premico y=-2. Presečišče lahko izračunamo s formulo f(x)=y in dobimo rezultat x=-0.5 ali pa jo očitamo na grafu.

Besedilo naloge:

Določite ničle polinoma $p(x)=-x^3+3*x^2$ in skicirajte njegov graf.

Viri:

Poklicna matura, februar 2006: 9.naloga

Pola poklicne mature 2006

Ničla polinoma p(x) je takšna vrednost za neodvisno spremenljivko x, za katero ima polinom vrednost 0.

Postopek reševanja:

V našem primeru lahko za izračun ničel izpostavimo $-x^2$ in tako ugotovimo, da ima polinom dvojno ničlo v 0 in enojno v 3. Nato narišemo graf polinoma, pomagamo si tudi z ničlami polinoma.

$p(x)=0$
$-x^3+3*x^3=0$
$-x^2(x-3)=0$
$x_{1,2}=0 ;$

$x_{3}=3$

Ničli našega polinoma sta torej vrednosti 0 in 3. GeoGebra vrednost ničle napiše v točki, kjer za vrednost x dobimo ničlo in za vednost y dobimo 0. V našem primeru imamo dve različni ničli zato dobimo dve točki, ki imajo vrednost y enako 0.

V GeoGebri najprej narišemo polinom in nato z ukazom Ničla[ <polinom>] določimo ničle.

Za prenos datoteke ggb kliknite tukaj.

Besedilo naloge:

Izračunaj limite:

Viri:

Matematika1, 2011/2012, 2. Obvezna domača naloga, naloga3 , Praktična matematika
Povezava do naloge

Limita zaporedja je število, ki se mu vrednosti členov zaporedja $a_n$ približujejo, ko spremenljivko $n$ povečujemo čez vse meje.

Več o limitah

Postopek reševanja:

GeoGebra ima vgrajeno funkcijo za izračun limit $Limita[ <funkcija>, <vrednost> ]$. Da uporabimo ukaz najprej vstavimo funkcijo limite in jo nato uporabimo v ukazu.

a.)

Pršitev primera a

Rešitvi b.) in c.)

Rečitev primera b in c

Za limito c Geogebra izraza ne zna izračunati, zato funkcijo preoblikujemo. Vidimo, da je gre vrednost v oklepajih funkcije proti 1 in eksponent funkcije proti neskončno. Zato se lotimo preoblikovanja funkcije na listu papirje in pridemo do dobljene funkcije:

$e^{lim _{x-> \infty}\frac{(4n^3 + 4n^2 + 2n - 2)} {(n^3 + 4n^2 + 6n + 9)}}$

V taki obliki pa rešitev lahko vpišemo v GeoGebro. Najprej napišemo vrednost limite v obliki funkcije in ji nato vstavimo v ukaz $Limita[ <funkcija>, <vrednost> ]$.

Dobimo rezultat limite $54.6$ kar je enako rešitvi $e^4$, torej dobimo pravilni rezultat.

Za prenos ggb datoteke kliknite tukaj.

Besedilo naloge:

Dani sta matriki:

Reši matrično enačbo $X(A-B^T)=2X+B$.

Viri:

2. kolokvij iz matematike 2, Strojna(UNI), 2011 2. Naloga

Kolokvij

Matrika je v matematiki pravokotna razpredelnica števil ali v splošnem elementov kolobarskih algebrskih struktur. Matrične enačbe rešujemo podobno kot navadne enačbe, paziti pa moramo na nekomutativnost množenja in množenje z inverzno matriko namesto deljenja.

Postopek reševanja:

Enačbo najprej preoblikujemo po postopku:

$X(A-B^T)=2*X+B$
$X(A-B^T) -2*X=B$
$X( (A-B^T-2*I)= B$
$X=B*(A-B^T-2*I) ^{-1}$

Matrika I je enotska matrika, ki ima po diagonali same enke. Enačbo izračunamo in dobimo iskani rezultat.

Besedilo naloge:

Določi vse lastne vrednosti in lastne vektorje matrike:

$A= \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1\\ 12 & -4 & -12\\ -4 & 1 & 5\end{bmatrix}$.

Viri:

2. izpit in matematike2, strojna(UNI),2009, 4. naloga

Izpit z nalogo

Poiščemo karakteristični polinom matrike A tako, da izračunamo determinanto (A-$\gamma$I).

$det( A-\gamma I)= \begin{bmatrix} 2-\gamma & -1 & -1\\ 12 & -4-\gamma & -12\\ -4 & 1 & 5-\gamma\end{bmatrix} =\gamma (2-\gamma)(\gamma -1) =0$
Lastne vrednosti matrike A so:
$\gamma$ 1=0
$\gamma$ 2=1
$\gamma$ 3=2

Reševanje z numeričnem orodjem:

Vnesemo matriko A. V Matlab vnesemo ukaz [LasVek,LasVre]=eig(A), ki nam izpiše matriki iz katerih preberemo lastne vrednosti in lastne vektorje matrike A.

Matrika LasVek ima po stolpcih lastne vektorje, matrika LasVre pa ima po diagonali pripadajoče lastne vrednosti matrike A.
Matlab sicer izračuna lastne vrednosti, vendar kot posledico numeričnega računanja dobimo rezultat -0.0000.

Besedilo naloge:

Funkcija je dana s predpisom $f(x)=\frac{x}{(x-1)^3}$. Poišči prostornino telesa, ki ga dobiš, če zavrtiš graf funkcije okrog abcisne osi na intervalu [-1/2,1/2].

Viri:

3. izpit iz Matematike 1(Praktična matematika), 30.avgust 2011: 3. naloga

Povezava do naloge

Določeni integral je matematična operacija. Izračunamo ga tako, da najprej izračunamo nedoločeni integral, nato pa še vstavimo zgornjo in spodnjo mejo. Geometrijski pomen določenega integrala je ploščina pod integrirano funkcijo.

Nedoločeni integral dane funkcije f je funkcija F, katere odvod je enak dani funkciji f. V tem smislu je integriranje obratna operacija kot odvajanje.

Z izračun prostornine funkcije potrebujemo formulo:

$V=pi* \int_{-1/2}^{1/2} f(x)^2dx$
Nato funkcijo vstavimo v Octave in s ukazom quad integriramo funkcijo.

Ploščina telesa je 3.2683.

Rešitev naloge

Izračunaj določena integrala:

a.) $\int_{0}^{1} x^2*\sqrt{1-x^2} dx$

b.) $\int_{0}^{pi/2} x*cos(x) dx$ +Besedilo naloge:++

Viri:

Matematika 1 2010/11, 4. obvezna domača naloga, naloga 2; Praktična matematika

Povezava do naloge

Določeni integral je matematična operacija. Izračunamo ga tako, da najprej izračunamo nedoločeni integral, nato pa še vstavimo zgornjo in spodnjo mejo. Geometrijski pomen določenega integrala je ploščina pod integrirano funkcijo.

S pomočjo ukaza inline funkciji vnesemo v ukazno okno in nato s ukazom quad izračunamo določeni integral. Pozorni moramo biti na meje integralov.

Izračunane vrednosti integralov

Besedilo naloge:

Poišči vse rešitve sistema enačb.

$x-y-z+t=-1$
$2x+3y-12z+3t=2$
$-x+3z-t=0$
$-2x+y+4z-t=0$

Viri:

2. kolokvij iz Linearne Algebre, praktična matematika, 17. januar 2008,1. naloga
Povezava do naloge

Sistem linearnih enačb ali preprosto linearni sistem je serija linearnih enačb, ki imajo isti nabor neznank. Sistem linearnih enačb lahko zapišemo v matrični obliki, kar močno poenostavi reševanje, saj lahko uporabimo Gaussovo eliminacijsko metodo.

Gaussova eliminacijska metoda omogoča rešitev sistema n linearnih enačb. Koeficiente pri posameznih linearnih enačbah zapišemo v matriko.

Rang (oznaka rank(A)) matrike je število linearno neodvisnih vrstic oziroma stolpcev. Linearna neodvisnost vrstic ali stolpcev pomeni, da se posamezne vrstice ali stolpci ne morejo izraziti z drugimi. Rang je tudi red največje nenačelne kvadratne poddeterminante, ki pripada pravokotni matriki. Rang matrike je torej določen z najvišjim redom poddeterminante, ki je še različna od 0.

• Na začetku preverimo, če je naš sistem rešitev rešljiv. To preverimo tako, da preverimo rang matrike A tvorjene iz koeficientov neznank in rank razširjene matrike sistema [A∣b] .
  $A= \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 1\\ 2 & 3 & -12 &3\\ -1 & 0 & 3 & -1\\ -2 &1 & 4 &-1\end{bmatrix}$ $b= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

• Če se ranga ujemata pomeni, da lahko nadaljujemo z reševanjem. V našem primeru imamo rang matrike 3 in 4 različne spremeljivke, kar pomeni da bo ena od neznank parameter.

• Rešujemo Gaussovo eliminacijo.

Za rešitev dobimo naslednjo matriko: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 &-1\\ 0 & -1 & 2 & 0 &-1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.

Iz matrike dobimo neznane spremenljivke. Opazimo, da za parameter dobimo $z$ in dobimo naslednje rešitve sistema:

t=-1
y=1+2z
x=1+3z.

Besedilo naloge:

Dana sta matrika in vektor

$A= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 0&1 \end {bmatrix}$ $v=\begin{bmatrix} 2\\ 2\\ 1\\ 0\end {bmatrix}$

Izračunaj karakteristični polinom matrike A $(p_{A})$, minimalni polinom matrike A pri vektorju v $(m_{A,v})$ in minimalni polinom matrike $A(m_{A})$.

Viri:

Linearna Algebra 2007/08, 18. domača naloga, naloga 18.1; Praktična matematika

Povezava do domače naloge

Karakteristični polinom je polinom (mnogočlenik), ki ga lahko povezujemo s kvadratnimi matrikami. Ta polinom določa mnoge pomembne lastnosti matrik (n. pri. lastne vrednosti, determinante in sledi matrike). Karakteristična enačba kvadratne matrike je enačba za spremenljivko $\lambda$, $det(A- \lambda I)=0$. Rešitve karakteristične enačbe so lastne vrednosti matrike.

Sled matrike A(sl), je vsota vseh diagonalnih elementov matrike A.

Zgornje trikotna matrika je matrika, katere vrednosti so pod njeno diagonalo vse enake nič.

Elementarne transformacije na matrikah imamo tri tipe:

• Tipa 1: prištej skalarni večkratnik ene vrstice k drugi vrstici.
• Tipa 2: Pomnoži vrstico matrike z nenačelnim skalarjem.
• Tipa 3: Zamenjaj dve vrstici.

Minimalni polinom oziroma minimalni polinom matrike je v linearni algebri za matriko A z razsežnostjo $n\times n$ nad obsegom F manični polinom P nad F tako, da ima najmanjšo možno stopnjo za P(A)=0 (ničelna matrika).

Najprej poiščemo karakteristični polinom matrike. To storimo tako, da s pomočjo elementarnih transformacij matrik, matriko A pretvorimo v zgornje trikotno. Dobimo matriko $A_{1}$:
$A_{1}=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1\end {bmatrix}$

Sedaj lahko s pomočjo programa Matlab izračunamo lastne vrednosti matrike $A_{1}$. Pomagamo si s funkcijo eig.

Izračun lastnih vrednosti

Dobimo štiri lastne vrednosti matrike -1,0,-1,1. Lahko ugotovimo, da če je matrika zgornje trikotna ima po diagonali ravno lastne vrednosti matrike.

Lastne vrednosti damo v izraz $(-1-\lambda)(0-\lambda)(1-\lambda)(-1-\lambda)=\lambda^4-\lambda^2=p_{(A_{1})}\lambda$.

Nadaljujemo z reševanje minimalnega polinoma. Sestavimo matriko $4 \times 4$ po sledečem postopku:
Prvi stolpec matrike A2 je enak vektorju v.
Drugi stolpec je enak vektorju $A*v=V1$.
Tretji stolpec je enak vektorju $A^2*V1=V2$.
Četrti stolpec je enak vektorju $A^3*V2=V3$.

Pomagamo si s programom pri računanju:

Izračuni s pomočjo programa

Dobimo naslednjo matriko:

$A_{2}=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & -1\\ 2 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {bmatrix}$

S pomočjo elementarnih transformacij na matrikah dobila naslednjo matriko:
$A_{2}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end {bmatrix}$

Dobimo rešitev sistema naslednjih linearnih enačb matrike $A_{2}$.

Rešitve: Ker je x1=0, sledi da je tudi x2=0, x3=x4=1.

Rešitev vstavimo v izraz: $A+AV+A^2V1+A^3V2=A*0+AV*0+A^2V1*1+A^3V2*1$

Dobimo minimalni polinom: $v(m_{(a,v)}=\lambda^3+\lambda^2$

Poiščimo še minimalni polinom matrike $A(m_{A})$.

Razstavimo enačbo karakterističnega polinoma in dobimo kandidate za minimalni polinom matrike A.

• $\lambda^4-\lambda^2=\lambda^2(\lambda-1)(\lambda+1)$
  Ničle:
  $\lambda_{1,2}=0$
  $\lambda_{3}=1$
  $\lambda_{4}=-1$
  
• $\lambda^3+\lambda^2=\lambda(\lambda-1)(\lambda+1)$ Ničle:
  $\lambda_{1}=0$
  $\lambda_{2}=1$
  $\lambda_{3}=-1$
  

Pri množenju si pomagamo s programom:

Najprej zapišemo tri matrike, ki jih poimenujemo M1,M2,M3. V matriko M1, vstavimo λ1,2=0, v matriko M2 λ3=1 in v matriko M3 λ3=1.
Nato po vrsti zapišemo produkt matrik M1*M2*M3 in če je zmnožek matrik enak nič, potem dobimo minimalni polinom, če ne nadaljujem postopek pri drugem polinomu.

Prikaz pravilne rešitve

Naloga:

Naj bo $A=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ a & b\end {bmatrix}$in det A = 1. Določite realni števili a in b tako, da bo matrična enačba $3AX = A^{-1}- X$ enolično rešljiva in bo detX = 1. Zapišite tudi rešitev X.

Viri:

1.izpit in matematike2, strojna(UNI), 2009, 4.naloga
Izpit

Determinanta produkta matrik je enaka produktu njunih determinant.
Najprej iz dane matrične enačbe izrazimo X:

$X=(A3+I)^{-1}-A^{-1}$

Matrična enačba bo enolično rešljiva, ko bo det(3A + I) različna od 0.

S tem upoštevamo, da je $det(X) = det(3A + I)^{-1} * det(A)^{-1}$:

$1=\frac{1}{12b+4-9a}*1$

Sledi enakost $12b+4-9a=1$, hkrati pa velja tudi $b-a=1$ (saj je detA = 1), zato a=-5 in b=-4.

Sedaj lahko X izračunamo s pomočjo programa Octave.

Besedilo naloge:

Razstavi na parcialne ulomke

$\frac{x}{(x-1)(x^3-1)}$.

Viri:

Proseminar A 2010/11 , 3. domača naloga, naloga 4; Matematika

Povezava do naloge

Ko imamo izraz racionalne funkcije, ga raztalimo glede na stopnjo števce in imenovalca.

• V primeru, ko je stopnja števca večje ali enake stopnji imenovalca polinoma zdelimo.

V nasprotnem primeru pri kvadratnem imenovalcu gledamo kako se obnaša determinanta (D<0 dopolnimo do popolnega kvadrata oz. D > 0 razcepimo na ulomke). Ko je imenovalec reda več kot 2 ga tudi razstavimo na parcialne ulomke.

Naš primer je stopnje več kot dva zato ga bomo reševali s pomočjo parcialnih ulomkov.

V našem primeru izraz razstavimo takole:

$\frac{x}{(x-1)(x^3-1}=\frac{x}{(x-1)^2(x^2+x+1)}$

Razcep na delne ulomke v takem primeru je:
$\frac{x}{(x-1)^2(x^2+x+1)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{(x^2+x+1)}$

Število neznanih konstant na desni je enako stopnji polinoma imenovalca(na levi).

Določimo konstanto:

$x=A(x^3-1)+B(x^2+x+1)+ (Cx+D)(x-1)^2$

Rešimo sistem enačb in dobimo rešitve:

A=0
B=1/3
C=-1/3
D=0

Dobimo rešitev naloge:

$\frac{x}{(x-1)^2(x^2+x+1)}= \frac{\frac{1}{3}}{(x-1)}-\frac{\frac{1}{3}}{ (x^2+x+1) }$

Našo nalogo je najlažje rešiti v programu Wolfram Alpha.