Zbirka nalog

Zbirka nalog

Avtor: Nina Novak

1. Presečišči parabole in premice - besedilo naloge


Prva naloga


Izračunajte presečišči parabole in premice .


Vir


Maturitetna pola (splošna matura iz matematike, osnovna raven, 28. avgust 2006, 1. naloga)

1. Presečišči parabole in premice - matematična rešitev naloge

Rešitev naloge

Presečišči parabole in premice izračunamo tako, da v prvo enačbo za vstavimo vrednost iz druge enačbe:

Vse člene nesemo na isto stran in rešimo kvadratno enačbo:

Izračunamo pripadajoča s pomočjo enačbe za premico:

Rešitvi sta točki

in

.

Odgovor: Parabola in premica se sekata v točkah in .

1. Presečišči parabole in premice - reševanje naloge v programu GeoGebra


Shrani dokument

Zgornji dokument lahko odpremo s programom GeoGebra na tej spletni strani. Jezik je privzeto angleški. Slovenski jezik nastavimo tako, da v menijski vrstici izberemo Možnosti > Jezik > R - Z > Slovenian / Slovenščina.

Nalogo lahko rešimo z vnosom treh ukazov v ukazno vrstico:

  1. y_1(x) = - x^2 + 2x + 3 (izriše se parabola)
  2. y_2(x) = x + 1 (izriše se premica)
  3. T = Presečišče[y_1, y_2] (izriše se rešitev: točki in )
(http://www2.nauk.si/files/330/mat_mat_maturitetna_pola_1_osnovna_raven_jesenski_rok_2006_01_naloga_1.jpg)
Rešitev v programu GeoGebra

2. Paralelogram v prostoru: četrta točka, notranji koti in ploščina - besedilo naloge


Druga naloga


V prostoru so dane točke , in .
(i) Poišči točko , tako da bodo , , in določale paralelogram.
(ii) Izračunaj notranje kote in ploščino paralelograma.


Vir


1. kolokvij iz Linearne algebre, Praktična matematika, 13. november 2002, 2. naloga

2. Paralelogram v prostoru: četrta točka, notranji koti in ploščina - matematična rešitev naloge

(i) Točka . Iščemo koordinate , in . Privzamemo, da ima paralelogram obliko in da so vzporedne daljice in ter in . Točko izračunamo s pomočjo enakosti .


(ii) Notranji koti. Označimo notranji kot pri A z α, notranji kot pri B z ß, notranji kot pri C z γ in notranji kot pri D z δ. Izračunamo α s pomočjo kosinusnega izreka:

.

V točki (i) smo izračunali .

Sosednja kota v paralelogramu sta suplementarna: , nasprotna kota pa skladna: .

Ploščina. Poznamo naslednjo formulo za ploščino paralelograma:


Odgovor: Iskana točka je . Notranji koti paralelograma so enaki in . Ploščina paralelograma je enaka .

2. Paralelogram v prostoru - reševanje naloge v programu GeoGebra 1/6

Nalogo lahko rešimo v programu GeoGebra v različici 5.0 Beta, ki omogoča 3-razsežni pogled.

Naloži program GeoGebra 5.0 Beta

Shrani datoteko z rešitvijo naloge

Na prejšnji prosojnici smo točko D dobili s pomočjo enačbe . V GeoGebri jo dobimo s pomočjo risanja. Najprej narišemo

  • točke A, B in C in
  • daljici AB in BC. Nato
  • narišemo vzporednico daljici AB skozi C in
  • vzporednico daljici BC skozi A.
  • Presečišče teh dveh vzporednic je točka D.

Notranje kote smo izračunali s kosinusnim izrekom. V GeoGebri velikost kota na sliki najlažje dobimo z ukazom Kot[točka na prvem kraku, vrh kota, ki je izhodišče obeh krakov, točka na drugem kraku].

Ploščino paralelograma smo na prejšnji prosojnici izračunali kot drugo normo vektorskega produkta vektorjev AB in AC. V GeoGebri lahko ploščino lika dobimo z vnosom ukaza Ploščina[točke] v ukazno vrstico ali kot smo storili mi, z izbiro ikone Ploščina v orodni vrstici.


Koraki v GeoGebri:

  1. V meniju izberemo Pogled > Pogled 3D; odpre se okno Pogled 3D.
  2. Lahko zapremo okno Risalna površina.
  3. Nalogo rešimo z vnosom naslednjih ukazov v ukazno vrstico.

    1. A = (1, 0, 0)
    2. B = (0, 5, 1)
    3. C = (1, -1, 1)
    4. a = Daljica[A, B]
    5. b = Daljica[B, C]
    6. c = Premica[A, b]
    7. d = Premica[C, a]
    8. D = Presečišče[c, d] (v oknu Algebrsko okno se pokažejo koordinate točke D)
    9. paralelogram = Mnogokotnik[A, B, C, D] (na tem mestu lahko skrijemo daljici a in b ter premici c in d)
    10. α = Kot[B, A, D] (v oknu Algebrsko okno se pokaže vrednost kota α)
    11. ß = Kot[C, B, A] (v oknu Algebrsko okno se pokaže vrednost kota ß)

2. Paralelogram v prostoru - reševanje naloge v programu GeoGebra 2/6

4. V meniju ikone za Kot izberemo ikono Ploščina in potem označimo na sliki paralelogram.

(http://www2.nauk.si/files/330/Linearna_algebra_2002-2003_kolokvij_1_naloga_2_12._Ploščina.jpg)
Izbira Kot > Ploščina

Na sliki se pojavi besedilo Ploščina ABCD = 6.16. V oknu Algebrsko okno vidimo, da je 6.16 tudi vrednost spremenljivke paralelogram.

2. Paralelogram v prostoru - reševanje naloge v programu GeoGebra 3/6

5. Desni klik na kot α (enako za kot ß). Izberemo možnost Lastnosti.

(http://www2.nauk.si/files/330/Linearna_algebra_2002-2003_kolokvij_1_naloga_2_13._a)_Desni_klik.jpg)
Desni klik na α

2. Paralelogram v prostoru - reševanje naloge v programu GeoGebra 4/6

5. (nadaljevanje) Odpre se okno Nastavitve. Izberemo meni Osnovno in v njem pri možnosti Prikaz opisa izberemo možnost Ime & Vrednost.

(http://www2.nauk.si/files/330/Linearna_algebra_2002-2003_kolokvij_1_naloga_2_13._b)_Prikaz_opisa.jpg)
Izbira Ime & Vrednost

Sedaj je velikost kota prikazana tudi na sliki v oknu Pogled 3D, ne samo v oknu Algebrsko okno.

2. Paralelogram v prostoru - reševanje naloge v programu GeoGebra 5/6

5. (nadaljevanje) Pričakovana slika v algebrskem oknu:

(http://www2.nauk.si/files/330/Linearna_algebra_2002-2003_kolokvij_1_naloga_2.jpg)

2. Paralelogram v prostoru - reševanje naloge v programu GeoGebra 6/6

5. (nadaljevanje) Celotno okno programa GeoGebra 5.0 Beta:

(http://www2.nauk.si/files/330/Linearna_algebra_2002-2003_kolokvij_1_naloga_2_posnetek_zaslona.jpg)

3. Globalna minimum in maksimum funkcije - besedilo naloge


Tretja naloga


Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na območju, ki ga omejujeta abscisna os in krivulja .


Vir


3. Globalna minimum in maksimum funkcije - matematična rešitev naloge

Na zaprtem in omejenem območju lahko funkcija zavzame ekstrem na naslednjih delih:

  1. v ogliščih;
  2. na robu, kjer funkcija ni odvedljiva ali je njen odvod enak nič;
  3. v notranjosti, kjer ni odvedljiva ali sta njena parcialna odvoda in enaka nič.

Iščemo globalni minimum in globalni maksimum funkcije na območju .

Kandidati za globalna ekstrema:

  1. oglišča


    ,

    1. (1. kandidat)
    2. (2. kandidat)
  2. rob območja

    1. rob : ; Tu ni kandidatov za ekstrem.
    2. rob :


      1. (3. kandidat)
      2. (4. kandidat)
  3. notranjost območja

    1. ; V notranjosti ni kandidatov za ekstrem.

Med kandidati , , in najdemo najmanjšo in največjo vrednost.

Pokažimo, da je večje od in da je manjše od .

Vemo, da je . Zato velja .

Ko neenakost pomnožimo z , se neenačaj obrne. Zato tudi .

Odgovor: Najmanjša vrednost na definiranem območju je , največja pa .

3. Globalna minimum in maksimum funkcije - reševanje naloge v programu Mathematica

Interaktivno okno programa Mathematica se imenuje notebook (dokument ima končnico .nb). Če nimamo programa Mathematica, si lahko notebook dokument ogledamo v programu Wolfram CDF Player, ki je na voljo brezplačno tukaj.

Rešitev naloge: shrani dokument

Potek reševanja v programu Mathematica si lahko ogledamo v spodnjem filmu.

4. Tangentna ravnina na ploskev - besedilo naloge


Besedilo četrte naloge


Določite tangentno ravnino na ploskev:

, ,

pri in .


Viri


4. Tangentna ravnina na ploskev - matematična rešitev naloge

Za ploskev v parametrični obliki velja:






Normalni vektor:


Tangentna ravnina:

Krajevni vektor do točke interesa na ploskvi:



Normalni vektor na ploskev:

Tangentna ravnina:


Odgovor: Enačba tangentne ravnine je .

4. Tangentna ravnina na ploskev - reševanje naloge v programu Mathematica

Interaktivno okno programa Mathematica se imenuje notebook (dokument ima končnico .nb). Če nimamo programa Mathematica, si lahko notebook dokument ogledamo v programu Wolfram CDF Player, ki je na voljo brezplačno tukaj.

Rešitev naloge: shrani dokument

Potek reševanja v programu Mathematica si lahko ogledamo v spodnjem filmu.

0%
0%