Naloge

Naloge

Avtor: Tjaša Rugelj

1. naloga

Poklicna matura - spomladanski rok 2004, 1.del, 3.naloga

Iz podatkov na skici izračunajte kot x in stranico y.

(http://www2.nauk.si/files/34/trikotnik.jpg)

Izberite željeno možnost:

Ponovitev snovi

Reševanje z GeoGebro Reševanje z Matlabom

Postopek reševanja - filmček

Ponovitev - pravokotni triktnik

Pravokotni trikotnik je trikotnik z enim pravim kotom (90°). Običajno je to kot v oglišču C. Najdaljšo stranico pravokotnega trikotnika imenujemo hipotenuza, ostali dve stranici pa kateti.

V pravokotnem trikotniku velja:

  • Kota ob hipotenuzi sta komplementarna: α + β = 90°
  • Pitagorov izrek:
  • Evklidov izrek: (z a1 in b1 označimo dolžini pravokotnih projekcij katet a in b na hipotenuzo: a1 + b1 = c).
  • Višinski izrek:
  • Polmer trikotniku očrtanega kroga je enak polovici dolžine hipotenuze c:
  • Ploščina pravokotnega trikotnika:
(http://www2.nauk.si/files/34/pravokotni trikotnik - slika.jpg)

Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku (n=kotu nasprotna kateta, p=kotu priležna kateta, h=hipotenuza):

  • , , ,

Vrednosti kotnih funkcij za nekatere kote:

(http://www2.nauk.si/files/34/tabela.jpg)

Reševanje z Matlabom - 1. naloga

Za izračun tretje stranice lahko uporabimo Pitagorov izrek, saj je trikotnik pravokoten.

V Matlab zapišemo račun za tretjo stranico:

(http://www2.nauk.si/files/34/1. del 3. naloga (1)_0.jpg)

Dobili smo rezultat 48. Zdaj moramo rezultat še koreniti. Z delnim korenjenjem dobimo rezultat 4sqrt(3), natančen izračun pa je:

(http://www2.nauk.si/files/34/1. del 3. naloga (2).jpg)

Odgovor: Tretja stranica trikotnika meri 6.928cm.

Za izračun kota, bomo pa uporabili formulo za kotne funkcije. To je .

V našem primeru bi bilo . Če bi naš ulomek malce okrajšali, bi dobili . To vrednost pa lahko najdemo v tabeli kotnih funkcij. Torej je kot tanges pri vrednosti enak 30°.

Odgovor: Kot x meri 30°.

Reševanje z GeoGebro - 1. naloga

Najprej prerišemo skico trikotnika v GeoGebro in mu nato izmerimo kot ter dolžino stranice.

GeoGebrina datoteka:

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Prikaz reševanja v filmčku

Postopek reševanja si lahko ogledate tudi v filmčku:

2. naloga

Poklicna matura - zimski rok 2004, 1.del, 7.naloga

Skicirajte graf funkcije .

(http://www2.nauk.si/files/34/koordinatni sistem.jpg)

Izberite željeno možnost:

Ponovitev snovi

Reševanje z GeoGebro

Filmček

Ponovitev - racionalne funkcije in grafi

Racionalna funkcija

Racionalna funkcija je vsaka funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike: .

Ničle polinoma v števcu so ničle racionalne funkcije. Ničle polinoma v imenovalcu pa so poli racionalne funkcije. Racionalna funkcija je definirana povsod razen v polih.

Graf racionalne funkcije

Racionalna funkcija je zvezna povsod, kjer je definirana. To pomeni, da se graf racionalne funkcije pretrga samo v polih. Pri risanju grafa racionalne funkcije upoštevamo naslednja pravila:

  1. Graf racionalne funkcije, ko gre x proti ±:

    1. Če je stopnja imenovalca večja od stopnje števca, ima vodoravno asimptoto y = 0.
    2. V splošnem pa števec racionalne funkcije delimo z imenovalcem. Pri tem dobimo polinoma količnik in ostanek. Dobljeni količnik imenujemo asimptotski polinom. Pogosto je asimptotski polinom prve ali ničte stopnje in ima za graf premico. V tem primeru to premico imenujemo glavna asimptota racionalne funkcije. Graf racionalne funkcije včasih tudi seka asimptoto (oz. asimptotski polinom) - presečišča so v točkah, kjer je ostanek pri deljenju števca z imenovalcem enak 0.
  2. Graf racionalne funkcije v okolici ničle k-te stopnje narišemo enako kot graf polinoma v okolici ničle k-te stopnje.
  3. Graf racionalne funkcije v okolici pola k-te stopnje je podoben kot graf potenčne funkcije y = x −k (z ustreznim raztegom in premikom). To pomeni, da se graf v okolici pola vedno približuje navpični asimptoti, glede predznaka funkcije pa ločimo dve vrsti polov:

    1. V polih lihe stopnje se predznak funkcije spremeni.

      (http://www2.nauk.si/files/34/graf2.gif)
    2. V polih sode stopnje se predznak funkcije ohrani.

      (http://www2.nauk.si/files/34/graf1.gif)

Torej ugotovimo: Predznak racionalne funkcije se spremeni samo v polih in ničlah lihe stopnje.

Reševanje z GeoGebro - 2. naloga

To nalogo najlažje rešimo tako, da funkcijo vnesemo v GeoGebrino vnosno polje. Ko nam funkcijo izriše, lahko poiščemo asimptoto in pole. To storimo tako, da v vnosno polje zapišemo: Asimptota[f(x)].

Prikaz v GeoGebri:

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Prikaz reševanja v filmčku

3. naloga

Poklicna matura - zimski rok 2010, 2.del, 1.naloga

V kinodvorani so v maju predvajali pet filmskih predstav. Strukturni krog prikazuje delež gledalcev posamezne predstave glede na skupno število gledalcev v kinodvorani v maju. Najbolj obiskano predstavo si je ogledalo 1768 ljudi.

(http://www2.nauk.si/files/34/tortni diagram.jpg)
  1. Izpolnite spodnjo preglednico.

    (http://www2.nauk.si/files/34/preglednica.jpg)
  2. Koliko je bilo vseh gledalcev v maju? Koliko je bilo gledalcev, ki so si ogledali 3 najmanj obiskane predstave v kinodvorani v maju?
  3. Cena vstopnice je 5 evrov. Izračunajte, koliko evrov več so zaslužili z najbolj obiskano predstavo v primerjavi z najmanj obiskano.

Reševanje 1. točke z Excelom

Reševanje 2. točke z Excelom

Reševanje 3. točke z Excelom

Filmček

Reševanje z Excelom - 3. naloga (1)

V Excel prepišemo osnutek tabele. Nato prepišemo v stolpec relativne frekvence vse podatke ki jih vidimo pri tortnem grafu. Opazimo, da za predstavo Ko se zdani, ni podatka. Le tega bomo dobili tako, da od celote (1 ali 100%) odštejemo vsoto tistih podatkov, ki jih že imamo.

(http://www2.nauk.si/files/34/relativna frekvenca.jpg)

V navodilu naloge imamo že podan podatek, da si je najbolj obiskano predstavo ogledalo 1768 ljudi.

Torej si je predstavo s 34% obiskom ogledalo 1768 ljudi. Iz tega podatka lahko izračunamo še ostale absolutne frekvence. Izračunamo jih tako, da delež obiskane predstave pomnožimo z 1768 ter zmnožek delimo s 0,34 deležem.

(http://www2.nauk.si/files/34/absolutna frekvenca.jpg)

Reševanje z Excelom - 3. naloga (2)

Da dobimo število vseh ljudi, ki so si v maju ogledali predstavo, moramo samo sešteti stolpec z absolutnimi frekvencami. V našem primeru v neko celico napišemo formulo =SUM(C2:C6) in že dobimo rezultat.

(http://www2.nauk.si/files/34/skupaj.jpg)

Odgovor: Vseh gledalcev v maju je bilo 5200.

Nato moramo izbrati 3 najmanj gledane predstave in jih sešteti.

(http://www2.nauk.si/files/34/3 najmanj obiskane.jpg)

Odgovor: 3 najmanj obiskane predstave si je v maju ogledalo 1976 ljudi.

Reševanje z Excelom - 3. naloga (3)

V neko celico zapišemo ceno vstopnice, ki je 5 EUR. Sedaj moramo izračunati koliko so zaslužili z največ in najmanj ogledano predstavo ter izračunati kolikšna je razlika med njima v zaslužku.

(http://www2.nauk.si/files/34/razlika.jpg)

Prikaz reševanja v filmčku

4. naloga

Poklicna matura - zimski rok 2010, 2.del, 2.naloga

Na skici je pokončna tristrana prizma ABCDEF . Kot ABC meri 150° , AB = 33 cm in BC = 40 cm. Višina prizme je 56 cm.

(http://www2.nauk.si/files/34/prizma.jpg)
  1. Izračunajte dolžino daljice BD.
  2. Izračunajte prostornino prizme. Rezultat zapišite v dm.
  3. Izračunajte ploščino plašča prizme. Rezultat zapišite v dm.

Ponovitev snovi

Reševanje 1. točke z Matlabom

Reševanje 2. točke z Matlabom

Reševanje 3. točke z Matlabom

Filmček

Ponovitev snovi - pokončna prizma

Prizma je pokončna, če so stranski robovi pravokotni na osnovno ploskev. Stranske ploskve pokončne prizme so pravokotniki. Višina pokončne prizme je enaka dolžini stranskega roba.

Za pokončno prizmo velja:

  • površina:
  • plašč:
  • prostornina:

Reševanje z Matlabom - 4. naloga (1)

Zanima nas daljica BD. Ker imamo pokončno tristrano prizmo, so zato stranice pravokotne na osnovno ploskev. Zaradi tega lahko zdaj s pomočjo Pitagorovega izreka izračunamo dolžino daljice BD.

Skica:

(http://www2.nauk.si/files/34/pravokotni trikotnik - skica.jpg)

Računanje v Matlabu:

(http://www2.nauk.si/files/34/pravokotni trikotnik.jpg)

Odgovor: Daljica BD je dolga 65cm.

Reševanje z Matlabom - 4. naloga (2)

Za izračun prostornine prizme potrebujemo ploščino osnovne ploskve in višino.

Ker je osnovna ploskev trikotnik, bomo potrebovali formulo za izračun ploščine trikotnika. Ker imamo podano vrednost za 2 stranice in 1 kot, bomo uporabili formulo .

Vemo, da je .

Formula sedaj izgleda tako:

(http://www2.nauk.si/files/34/osnovna ploskev.jpg)

Za izračun prostornine zmnožimo rezultat osnovne ploskve z višino.

(http://www2.nauk.si/files/34/volumen.jpg)

Odgovor: Prostornina prizme je 18480cm oziroma 18,48dm.

Reševanje z Matlabom - 4. naloga (3)

Če želimo izračunati ploščino plašča naše prizme, moramo najprej izračunati vrednost tretje stranice osnovne ploskve.

Dolžino tretje stranice bomo dobili s kosinusnim izrekom:

Še preden v Matlab napišemo formulo, napišemo najprej izraz format long e, da nam bo matlab vrnil daljši decimalni zapis, saj bomo le tako prišli do pravilne rešotve.

(http://www2.nauk.si/files/34/kosinusni izrek.jpg)

Obseg osnovne ploskve bomo dobili tako, da seštejemo vse stranice.

(http://www2.nauk.si/files/34/obseg.jpg)

Ko imamo izračunan obseg, ga lahko pomnožimo z višino in tako dobimo ploščino plašča.

(http://www2.nauk.si/files/34/plašč.jpg)

Odgovor: Ploščina plašča je 8038cm oz 80,38dm.

Prikaz reševanja v filmčku

5. naloga

Poklicna matura - spomladanski rok 2011, 1.del, 1.naloga

Za natančno izračunajte vrednost izraza (2+*t):(1-t).

Reševanje v Matlabu

Filmček

Reševanje z Matlabom - 5. naloga

V Matlabu shranimo spremenljivko , ki ima vrednost .

Nato napišemo izraz.

(http://www2.nauk.si/files/34/spremenljivka t.jpg)

Odgovor: Končni rezultat izraza je 0.96.

Prikaz reševanja v filmčku

6. naloga

Splošna matura - spomladanski rok 2011, 1.del, 12.naloga

Na sliki je graf funkcije . Na dve decimalki izračunajte število a , če je ploščina osenčenega lika na sliki enaka 4 .

(http://www2.nauk.si/files/34/graf.jpg)

Reševanje v GeoGebri

Filmček

Reševanje z GeoGebro - 6. naloga

Najprej narišemo drsnik a, ki ga bomo kasneje premikali tako, da bo ploščina osenčenega dela enaka 4. Tako najprej prerišemo v GeoGebro funkcijo. Torej v vnosno polje zapišemo . V našem primeru želimo narisati spodnjo in zgornjo mejo, zato v GeoGebrino vnosno polje zapišemo Integral[f(x),1,2]. Opazimo, da nam GeoGebra nariše meje, in pa tudi to, da nam že kar izračuna ploščino.

Sedaj drsnik a premikamo tako, da bo ploščina (b) enaka 4.

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Odgovor: Število a ima vrednost 5,77.

Prikaz reševanja v filmčku

7. naloga

Splošna matura - spomladanski rok 2009, VR, 1.del, 1.naloga

V pravokotnem trikotniku ABC s pravim kotom pri oglišču C meri kateta b = AC = 7 cm , kot pri oglišču A pa . Izračunajte ploščino tega trikotnika. Narišite skico.

Reševanje v GeoGebri

Filmček

Reševanje z GeoGebro - 7. naloga

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Računanje ploščine v Matlabu

Za izračun ploščine potrebujemo vsaj še eno stranico ali pa višino. Ker bomo uporabili formulo 1/2*b*c*sin, bomo potrebovali dolžino stranice c oziroma hipotenuze.

(http://www2.nauk.si/files/34/p.trikotnik.jpg)

To bomo izračunali s pomočjo kotne funkcije in sicer: cos =

Če formulo malo preoblikujemo, dobimo: hipotenuza (c) =

Slika v Matlabu:

(http://www2.nauk.si/files/34/7. naloga.jpg)

Najprej smo izračunali hipotenuzo. 0.6293204 je kot cos51°.

Nato pa smo podatke vnesi v formulo 1/2*b*c*sin. 0.777714596 je kot sin51°.

Prikaz reševanja v filmčku

8. naloga

Splošna matura - spomladanski rok 2011, VR1, 9. naloga

Naj bo f (x ) = a*3^(x-1)+b, a, b ∈ R . Določite števili a in b tako, da bo f (1) = −1 in f (3) = −17 . Zapišite še definicijsko območje Df in zalogo vrednosti Zf tako dobljene funkcije.

Reševanje

GeoGebra

Filmček

Reševanje

Imamo podano funkcijo f(x) = a*3^(x-1)+b.

Podani imamo tudi rešitvi in sicer:

  • če za x vstavimo 1, dobimo rezultat -1
  • če za x vstavimo 3, dobimo rezultat -17

Če v funkcijo vstavimo namesto spremenljivke x število 1, dobimo enačbo: a+b=-1

Če v funkcijo vstavimo namesto spremenljivke x število 3, dobimo enačbo: 9a+b=-17

Vidimo, da imamo sistem dveh linearnih enačb. Tako ju lahko najprej odštejemo (ker je vrednost spremenljivke b v obeh primerih samo b, spremenljivke b ne bo več).

Ko odštejemo obe enačbi, dobimo: -8a = 16

Tako dobimo, da je spremenljivka a enaka -2.

V prvo enačbo vnesemo za spremenljivko a vrednost -2 in tako dobimo še vrednost za spremenljivko b, ki pa je 1.

Vrednosti spremenljivk:

  • a = -2
  • b = 1

Torej je funkcija sedaj takšna: f(x) = (-2)*3^(x-1)+1

Preostane nam še, da določimo definicijsko območje funkcije in pa zalogo vrednosti.

Funkcija v GeoGebri

Reševanje v GeoGebri

V GeoGebro narišimo funkcijo f(x) = (-2)*3^(x-1)+1. Dobimo takšen graf:

(http://www2.nauk.si/files/34/8. naloga (1).jpg)

Iz slike lahko razberemo definicijsko območje. Definicijsko območje je definirano za vsa realna števila. Ker ne vemo kje se graf konča, gre po vsej verjetnosti proti neskončnosti.

(http://www2.nauk.si/files/34/8. naloga Df.jpg)

Seveda pa lahko razberemo tudi zalogo vrednosti. Ta je v območju od do 1. Na sliki je to območje označeno s črtami.

(http://www2.nauk.si/files/34/8. naloga Zf.jpg)

Prikaz reševanja v filmčku

0%
0%