Zbirka z orodji rešenih nalog iz matematike

Zbirka z orodji rešenih nalog iz matematike

Avtor: Anita Kolaržik

Poklicna matura - zimski rok, 7.februar 2012, 1.del, 3.naloga

Uvod v nalogo

  • Snov: premica in točka na njej, razdalja točke od izhodišča
  • Povezava na maturitetno polo: pola
  • Postopek reševanja naloge s programom Geogebra (je prosto dostopen program, prenesete si ga lahko na: GeoGebra

Besedilo naloge

Dana je premica . Določite tako, da bo točka ležala na premici. Izračunajte razdaljo točke od koordinatnega izhodišča.

Ponovitev teorije


Reševanje naloge z GeoGebro

_Potek reševanja z GeoGebro_

Prenos datoteke z rešitvijo

Poklicna matura - zimski rok, 7.februar 2012, 1.del, 3.naloga

Premica

Premica je podana s predpisom , kjer je število smerni koeficient, pa začetna vrednost oz. prosti člen. ( in sta poljubni realni števili)

Smerni koeficient funkcije določa strmino premice. Začetna vrednost oz. prosti člen pa pove presečišče grafa z osjo (ordinato), to je točka .

Graf linearne funkcije

Za risanje grafa potrebujemo vsaj dve točki. Neko točko na premici dobimo tako, da se iz točke pomaknemo za eno enoto v desno in za enot navzgor (oz. navzdol, če je negativen).

Oglejmo si spodnji primer grafa funkcije s predpisom .

(http://www2.nauk.si/files/374/premica.png)
Graf premice 2x+1

Poklicna matura - zimski rok, 7.februar 2012, 1.del, 3.naloga

Razdalja med točkama

Razdalja med točkama je dolžina najkrajše poti med njima, torej moramo poiskati dolžino daljice med točkama.

Izpeljimo formulo s pomočjo spodnjega primera:

(http://www2.nauk.si/files/374/razdaljaMedTočkama.png)
razdalja med točkama

Točki A in B smo povezali v daljico ter potegnili pravokotnici na obe koordinatni osi. S tem je nastal pravokotni trikotnik, razdaljo med točkama predstavlja njegova hipotenuza, ki jo pa dobimo z uporabo Pitagorovega izreka.

Formula za razdaljo je potem:


Reševanje naloge z GeoGebro

Potek reševanja z GeoGebro

Prenos datoteke z rešitvijo

Poklicna matura - jesenski rok, 26.avgust 2011, 1.del, 8.naloga

Uvod v nalogo

  • Snov: presečišče premice in krivulje
  • Povezava na maturitetno polo: pola
  • Postopek reševanja naloge s programom Geogebra (je prosto dostopen program, prenesete si ga lahko na: GeoGebra

Besedilo naloge

Dani sta funkciji in . Izračunajte presečišči grafov funkcij in .

Ponovitev teorije


Reševanje naloge z GeoGebro

_Potek reševanja z GeoGebro

Prenos GeoGebra datoteke - grafično reševanje Prenos GeoGebra datoteke - računsko reševanje

Poklicna matura - jesenski rok, 26.avgust 2011, 1.del, 8.naloga

Presečišče funkcij

Presečišče grafov dveh funkcij in izračunamo tako, da izenačimo enačbi obeh funkcij:

Rešitev dobljene enačbe je abscisa ( koordinata) presečišča. Ordinato ( koordinato) presečišča dobimo tako, da izračunano absciso vstavimo v eno od funkcij.

(http://www2.nauk.si/files/374/presečišče.png)
presečišče premice in krivulje


Reševanje naloge z GeoGebro

.Potek reševanja z GeoGebro

Prenos GeoGebra datoteke - grafično reševanje Prenos GeoGebra datoteke - računsko reševanje

1. kolokvij iz Matematike v praksi, Praktična matematika, 23. april 2012, 1.naloga

Uvod v nalogo

  • Snov: številski sistem (pretvarjanje)
  • Povezava do kolokvija: kolokvij
  • Postopek reševanja naloge z Android aplikacijo Mathematics 1.2 (prosto dostopna, na svojo Android napravo si jo lahko prenesete s spletne strani aplikacija

Besedilo naloge

  • Število zapisano v dvojiškem sistemu pretvorite v štiriškega in šestnajstiškega.
  • Število zapisano v šestiškem sistemu pretvorite v sedmiškega.
  • Katero racionalno število predstavlja štiriški zapis ?

Ponovitev teorije


Potek reševanja v Mathematics

Potek reševanja v Mathematics

1. kolokvij iz Matematike v praksi, Praktična matematika, 23. april 2012, 1.naloga

Številski sistemi

Ljudje v splošnem uporabljamo desetiški številski sistem z osnovo 10 in števkami od 0 do 9. Poleg desetiškega se najpogosteje (predvsem v programiranju) uporabljajo še dvojiški, osmiški in šestnajstiški sistem. Število števk je torej razvidno iz njihovih imen, in sicer dvojiški: dve števki (0, 1), osmiški: osem števk (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) itd.


npr.


Pretvarjanje iz desetiškega v druge sisteme

Število postopno delimo s številskim sistemom, dokler ne dobimo količnika 0.
Nato ostanke preberemo od spodaj navzgor in to je potem pretvorjeno število.

kvocientoperacijaostanek
. . .


Pretvarjanje iz drugih sistemov v desetiškega

Zapis vrednosti števila v številskem sistemu je:

. Ta vsota je pretvorjeno število.


Pretvarjanje med dvema poljubnima številskima sistemoma

Najprej pretvorimo število v desetiški sistem, potem pa iz desetiškega v drugega želenega.


Potek reševanja v Mathematics

Potek reševanja v Mathematics.

KAVKA Dušan: Matematika v gimnaziji (Priprava na maturo-osnovna raven; Zbirka Nalog); Ljubljana: Modrijan, 2007; Stran 278: naloga 22


Uvod v nalogo

  • Snov: nedoločeni integral, kotne funkcije
  • Postopek reševanja naloge s programom Mathematica

Besedilo naloge

Zapišite nedoločeni integral funkcije , za katerega je .


Ponovitev teorije


Potek reševanja

Prenos datoteke z rešitvijo v Mathematici

Potek reševanja z Mathematics

KAVKA Dušan: Matematika v gimnaziji (Priprava na maturo-osnovna raven; Zbirka Nalog); Ljubljana: Modrijan, 2007; Stran 278: naloga 22


Nedoločeni integral

Nedoločeni integral je operacija obratna odvajanju.
To pomeni, da je nedoločeni integral funkcije enak tisti funkciji , katere odvod je enak dani funkciji .
Označimo ga z in tedaj velja:


, kjer je C konstanta.


Tabela osnovnih integralov


, (
, ()

KAVKA Dušan: Matematika v gimnaziji (Priprava na maturo-osnovna raven; Zbirka Nalog); Ljubljana: Modrijan, 2007; Stran 278: naloga 22


Tabela kotnih funkcij

Natančne vrednosti funkcij za nekatere kote:

funkcija/kot
1


Potek reševanja

Prenos datoteke z rešitvijo v Mathematici

Potek reševanja z Mathematics

Splošna matura, 26. avgust 2011 (osnovna raven, Izpitna pola 1) 3. naloga

Uvod v nalogo

  • Snov: enakokraki trikotnik
  • Povezava na maturitetno polo: pola
  • Postopek reševanja naloge s programom Geogebra (je prosto dostopen program, prenesete si ga lahko na: GeoGebra

Besedilo naloge

V enakokrakem trikotniku meri osnovnica 16 cm, krak pa 10 cm. Izračunajte obseg, višino na osnovnico in ploščino trikotnika ter kot ob osnovnici na desetinko stopinje natančno.


Ponovitev teorije


Reševanje z GeoGebro

Postopek reševanja z GeoGebro

Prenos datoteke z rešitvijo

Splošna matura, 26. avgust 2011 (osnovna raven, Izpitna pola 1) 3. naloga

Enakokraki trikotnik

Je trikotnik, pri katerem sta dve stranici enako dolgi (skladni). Ti dve stranici se imenujeta kraka ( in ), tretja stranica je pa osnovnica.
Notranja kota ob osnovnici ( in ) sta enako velika, zato velja: .

(http://www2.nauk.si/files/374/enakokrakiTrikotnik.png)


Obseg enakokrakega trikotnika

Izračunamo ga po osnovni formuli in sicer seštevek vseh treh stranic: .

Splošna matura, 26. avgust 2011 (osnovna raven, Izpitna pola 1) 3. naloga

Višina na osnovnico

Izračunamo jo kot pri raznostraničnem trikotniku, torej prek ploščine, vendar pa si tukaj pomagamo tudi s Pitagorovim izrekom, ki velja za pravokotni trikotnik: .

(http://www2.nauk.si/files/374/enakokrakiTrikotnik2.png)


Ploščina enakokrakega trikotnika

Velja Heronova formula , kjer je polovični obseg: . Izračunamo pa jo lahko tudi kot .

Splošna matura, 26. avgust 2011 (osnovna raven, Izpitna pola 1) 3. naloga


Koti v enakokrakem trikotniku

Pomagamo si lahko z kotnimi funkcijami, ki veljajo za pravokotni trikotnik s kotom :





V našem primeru uporabimo .


Reševanje z GeoGebro

Postopek reševanja z GeoGebro.

Prenos datoteke z rešitvijo

KAVKA, Dušan: Matematika v gimnaziji (Priprava na maturo-osnovna raven; Zbirka Nalog); Ljubljana: Modrijan, 2007; Stran 288: naloga 2


Uvod v nalogo

  • Snov: kvadratna funkcija
  • Postopek reševanja naloge z Android aplikacijo Mathematics 1.2 (prosto dostopna, na svojo Android napravo si jo lahko prenesete s spletne strani aplikacija

Besedilo naloge

Dana je funkcija . Izračunajte ničli, začetno vrednost te funkcije in narišite njen graf.


Ponovitev teorije


Reševanje z Mathematics

Postopek reševanja z Mathematics

KAVKA, Dušan: Matematika v gimnaziji (Priprava na maturo-osnovna raven; Zbirka Nalog); Ljubljana: Modrijan, 2007; Stran 288: naloga 2


Kvadratna funkcija

Kvadratno funkcijo zapišemo z enačbo oblike , kjer so koeficienti , in poljubna realna števila in je vodilni koeficient različen od 0.


Začetna vrednost

To je presečišče grafa z ordinatno () osjo. Izračunamo ga tako, da vstavimo v predpis funkcije.


Ničla

To so presečišča grafa z abscisno () osjo. Lahko ima eno, dve ničli, lahko pa je tudi brez ničel. Ničli izračunamo po formuli:
, kjer je diskriminanta in velja:

  • : funkcija ima dve (realni) ničli - graf seka os v dveh točkah,
  • : funkcija ima eno (realno) ničlo - graf se v eni točki dotika osi ,
  • : funkcija nima (realnih) ničel - graf ne seka osi .

KAVKA, Dušan: Matematika v gimnaziji (Priprava na maturo-osnovna raven; Zbirka Nalog); Ljubljana: Modrijan, 2007; Stran 288: naloga 2


Ničle pa lahko izračunamo tudi s pomočjo Vietovega pravila. Več o tem na: Vietovo pravilo


Graf

Za risanje grafa potrebujemo začetno vrednost, ničle ter teme funkcije. Koordinati temena in dobimo s formulama: , .


Reševanje z Mathematics

Postopek reševanja z Mathematics.

0%
0%