Uvod v nalogo

• Snov: premica in točka na njej, razdalja točke od izhodišča
• Povezava na maturitetno polo: pola
• Postopek reševanja naloge s programom Geogebra (je prosto dostopen program, prenesete si ga lahko na: GeoGebra

Besedilo naloge

Dana je premica $y=\frac{x}{3} +1$. Določite $y$ tako, da bo točka $T(3,y)$ ležala na premici. Izračunajte razdaljo točke $T$ od koordinatnega izhodišča.

Ponovitev teorije

Reševanje naloge z GeoGebro

Premica

Premica je podana s predpisom $y=kx+n$, kjer je število $k$ smerni koeficient, $n$ pa začetna vrednost oz. prosti člen. ($k$ in $n$ sta poljubni realni števili)

Smerni koeficient funkcije določa strmino premice. Začetna vrednost oz. prosti člen pa pove presečišče grafa z $y$ osjo (ordinato), to je točka $N(0,n)$.

Graf linearne funkcije

Za risanje grafa potrebujemo vsaj dve točki. Neko točko na premici dobimo tako, da se iz točke $N$ pomaknemo za eno enoto v desno in za $k$ enot navzgor (oz. navzdol, če je $k$ negativen).

Oglejmo si spodnji primer grafa funkcije s predpisom $y=2x+1$.

Graf premice 2x+1

Razdalja med točkama

Razdalja med točkama $d(A,B)$ je dolžina najkrajše poti med njima, torej moramo poiskati dolžino daljice med točkama.

Izpeljimo formulo s pomočjo spodnjega primera:

razdalja med točkama

Točki A in B smo povezali v daljico ter potegnili pravokotnici na obe koordinatni osi. S tem je nastal pravokotni trikotnik, razdaljo med točkama predstavlja njegova hipotenuza, ki jo pa dobimo z uporabo Pitagorovega izreka.

Formula za razdaljo je potem: $d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$


Reševanje naloge z GeoGebro

Uvod v nalogo

• Snov: presečišče premice in krivulje
• Povezava na maturitetno polo: pola
• Postopek reševanja naloge s programom Geogebra (je prosto dostopen program, prenesete si ga lahko na: GeoGebra

Besedilo naloge

Dani sta funkciji $f(x)=3x+1$ in $g(x)=x^2-3$. Izračunajte presečišči grafov funkcij $f$ in $g$.

Ponovitev teorije

Reševanje naloge z GeoGebro

Presečišče funkcij

Presečišče grafov dveh funkcij $f(x)$ in $g(x)$ izračunamo tako, da izenačimo enačbi obeh funkcij: $f(x) = g(x)$

Rešitev dobljene enačbe je abscisa ($x$ koordinata) presečišča. Ordinato ($y$ koordinato) presečišča dobimo tako, da izračunano absciso vstavimo v eno od funkcij.

presečišče premice in krivulje

Reševanje naloge z GeoGebro

Uvod v nalogo

• Snov: številski sistem (pretvarjanje)
• Povezava do kolokvija: kolokvij
• Postopek reševanja naloge z Android aplikacijo Mathematics 1.2 (prosto dostopna, na svojo Android napravo si jo lahko prenesete s spletne strani aplikacija

Besedilo naloge

• Število $111001011010_{(2)}$ zapisano v dvojiškem sistemu pretvorite v štiriškega in šestnajstiškega.
• Število $12345_{(6)}$ zapisano v šestiškem sistemu pretvorite v sedmiškega.
• Katero racionalno število predstavlja štiriški zapis $10,32_{(4)}$?
  

Ponovitev teorije

Potek reševanja v Mathematics

Številski sistemi

Ljudje v splošnem uporabljamo desetiški številski sistem z osnovo 10 in števkami od 0 do 9. Poleg desetiškega se najpogosteje (predvsem v programiranju) uporabljajo še dvojiški, osmiški in šestnajstiški sistem. Število števk je torej razvidno iz njihovih imen, in sicer dvojiški: dve števki (0, 1), osmiški: osem števk (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) itd.

npr. $235_{10} = 2*10^2+3*10^1+5*10^0$

Pretvarjanje iz desetiškega v druge sisteme

Število postopno delimo s številskim sistemom, dokler ne dobimo količnika 0.
Nato ostanke preberemo od spodaj navzgor in to je potem pretvorjeno število.

Pretvarjanje iz drugih sistemov v desetiškega

Zapis vrednosti števila ${a_n a_{n-1} ... a_1 a_0}$ v številskem sistemu $s$ je:

$a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+ ... +a_1s^1+a_0s^0$. Ta vsota je pretvorjeno število.

Pretvarjanje med dvema poljubnima številskima sistemoma

Najprej pretvorimo število v desetiški sistem, potem pa iz desetiškega v drugega želenega.

Potek reševanja v Mathematics

Uvod v nalogo

• Snov: nedoločeni integral, kotne funkcije
• Postopek reševanja naloge s programom Mathematica

Besedilo naloge

Zapišite nedoločeni integral $F$ funkcije $f(x)=\cos{x}-\sin{x}$, za katerega je $F(\frac{\pi}{2}) =6$.

Ponovitev teorije

Potek reševanja

Nedoločeni integral

Nedoločeni integral je operacija obratna odvajanju.
To pomeni, da je nedoločeni integral funkcije $f$ enak tisti funkciji $F$, katere odvod je enak dani funkciji $f$.
Označimo ga z $\int f (x) dx$ in tedaj velja:

$\int f(x) dx = F (x) + C$ ⇔ $F '(x) = f (x)$, kjer je C konstanta.

Tabela osnovnih integralov

Tabela kotnih funkcij

Natančne vrednosti funkcij za nekatere kote:

Potek reševanja

Uvod v nalogo

• Snov: enakokraki trikotnik
• Povezava na maturitetno polo: pola
• Postopek reševanja naloge s programom Geogebra (je prosto dostopen program, prenesete si ga lahko na: GeoGebra

Besedilo naloge

V enakokrakem trikotniku meri osnovnica 16 cm, krak pa 10 cm. Izračunajte obseg, višino na osnovnico in ploščino trikotnika ter kot ob osnovnici na desetinko stopinje natančno.

Ponovitev teorije

Reševanje z GeoGebro

Enakokraki trikotnik

Je trikotnik, pri katerem sta dve stranici enako dolgi (skladni). Ti dve stranici se imenujeta kraka ($a$ in $b$), tretja stranica $c$ je pa osnovnica.
Notranja kota ob osnovnici ($\alpha$ in $\beta$) sta enako velika, zato velja: $2\alpha+\gamma=2\beta + \gamma = 180^o$.

Obseg enakokrakega trikotnika

Izračunamo ga po osnovni formuli in sicer seštevek vseh treh stranic: $o=a+b+c$.

Višina na osnovnico

Izračunamo jo kot pri raznostraničnem trikotniku, torej prek ploščine, vendar pa si tukaj pomagamo tudi s Pitagorovim izrekom, ki velja za pravokotni trikotnik: ${v_c}^2=a^2-(\frac{c}{2})^2=b^2-(\frac{c}{2})^2$.

Ploščina enakokrakega trikotnika

Velja Heronova formula $S=\sqrt{s(s-a)^2(s-c)}$, kjer je $s$ polovični obseg: $s=\frac{2a+c}{2}$. Izračunamo pa jo lahko tudi kot $S=\frac{v_cc}{2}$.

Koti v enakokrakem trikotniku

Pomagamo si lahko z kotnimi funkcijami, ki veljajo za pravokotni trikotnik s kotom $\alpha$:
$sin(\alpha)=\frac{nasprotna kateta}{ hipotenuza}$

$cos(\alpha)=\frac{priležna kateta}{hipotenuza}$

$tan(\alpha)=\frac{nasprotna kateata}{priležna kateta}$

$ctan(\alpha)=\frac{priležna kateta}{nasprotna kateta}$

V našem primeru uporabimo $cos(\alpha)$.

Reševanje z GeoGebro

Uvod v nalogo

• Snov: kvadratna funkcija
• Postopek reševanja naloge z Android aplikacijo Mathematics 1.2 (prosto dostopna, na svojo Android napravo si jo lahko prenesete s spletne strani aplikacija

Besedilo naloge

Dana je funkcija $f(x)=\frac{x^2}{2} + x -4$. Izračunajte ničli, začetno vrednost te funkcije in narišite njen graf.

Ponovitev teorije

Reševanje z Mathematics

Kvadratna funkcija

Kvadratno funkcijo zapišemo z enačbo oblike $f(x) = ax^2 + bx + c$, kjer so koeficienti $a$, $b$ in $c$ poljubna realna števila in je vodilni koeficient $a$ različen od 0.

Začetna vrednost

To je presečišče grafa z ordinatno ($y$) osjo. Izračunamo ga tako, da vstavimo $0$ v predpis funkcije.

Ničla

To so presečišča grafa z abscisno ($x$) osjo. Lahko ima eno, dve ničli, lahko pa je tudi brez ničel. Ničli izračunamo po formuli:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$, kjer je $D= b^2-4ac$ diskriminanta in velja:

• $D>0$: funkcija ima dve (realni) ničli - graf seka os $x$ v dveh točkah,
• $D=0$: funkcija ima eno (realno) ničlo - graf se v eni točki dotika osi $x$,
• $D<0$: funkcija nima (realnih) ničel - graf ne seka osi $x$.

Ničle pa lahko izračunamo tudi s pomočjo Vietovega pravila. Več o tem na: Vietovo pravilo

Graf

Za risanje grafa potrebujemo začetno vrednost, ničle ter teme funkcije. Koordinati temena $p$ in $q$ dobimo s formulama: $p=\frac{-b}{2a}$, $q=\frac{-D}{4a}$.

Reševanje z Mathematics