Maturitetne naloge

Maturitetne naloge

Avtor: Sonja Bernard

Uvod

Na prosojnicah najdemo rešene štiri maturitetne naloge. Pri vsaki je v pomoč zapisana tudi kratka ponovitev snovi. Naloge so rešene s programoma GeoGebra in Precise Calculator.

Naloge

  • Poklicna matura, 7. februar 2012 (Izpitna pola 1), 7. naloga
  • Poklicna matura, 7. februar 2012 (Izpitna pola 1), 9. naloga
  • Poklicna matura, 3. februar 2005 (Izpitna pola 1), 3. naloga
  • Splošna matura, 26. avgust 2010 (Izpitna pola 1, Osnovna raven), 4. naloga

Poklicna matura, 7. februar 2012 (Izpitna pola 1), 7. naloga

Vsebina

  • Besedilo naloge
  • Ponovitev snovi: racionalna funkcija
  • Reševanje s programom GeoGebra

Vir: RIC

PDF: Izpitna pola

Besedilo naloge

Izračunajte ničlo, pol in vodoravno asimptoto racionalne funkcije ter narišite njen graf v dani koordinatni sistem.

(http://www2.nauk.si/files/383/KoordinatniSistem.jpg)

Racionalna funkcija

Definicija

Racionalna funkcija je kvocient dveh polinomov, ki nimata skupnega deljitelja:

Primer



Ničle

Ničle racionalne funkcije dobimo, ko je števec enak 0:

Primer


Ničle:

Poli

Pol racionalne funkcije je v točki, kjer je imenovalec enak 0:
Pri polih lihe stopnje funkcija spremeni predznak, pri polih sode stopnje pa se predznak ohrani.

Primer


Poli:
Oba pola sta liha.

(Vodoravna) asimptota

  • Če je števec nižje stopnje kot imenovalec, je asimptota premica
  • Če je števec enake stopnje kot imenovalec, je asimptota premica , kjer je vodilni koeficient števca, pa vodilni koeficient imenovalca.

(Navpična) asimptota

Navpične asimptote potekajo skozi pole.

Reševanje naloge

Nalogo bomo rešili v GeoGebra 4.2.

Funkcija

Na začetku v vnosno vrstico vnesemo funkcijo f(x).

(http://www2.nauk.si/files/383/VnosFunkcije.jpg)

GeoGebra nam na risalni površini nariše funkcijo, v algeberskem oknu pa vidimo njen predpis.

(http://www2.nauk.si/files/383/NarisanaFunkcija.jpg)


Ničla

Zdaj iščemo ničlo. Program že vsebuje ukaz Ničla, ki ga lahko uporabimo pri iskanju ničel. Mi le določimo funkcijo, začetno vrednost in končno vrednost parametra x (se pravi omejimo območje iskanja ničle).

(http://www2.nauk.si/files/383/Ničla1.jpg) (http://www2.nauk.si/files/383/Ničla2.jpg)

Program nam ničlo označi s črko . Na risalni površini vidimo, kje na grafu funkcije se ničla nahaja, v algeberskem oknu pa je izpisana njena vrednost.

(http://www2.nauk.si/files/383/NarisanaNičla.jpg)

Pol in vodoravna asimptota

Ostane nam še iskanje pola in vodoravne asimptote. Vemo, da navpične asimptote potekajo skozi pole, torej iščemo navpično in vodoravno asimptoto. Ukaz Asimptota nam bo poiskal obe hkrati.

(http://www2.nauk.si/files/383/Asimptota1.jpg) (http://www2.nauk.si/files/383/Asimptota2.jpg)

Na risalni površini imamo narisani obe asimptoti, njuna predpisa pa sta podana v algeberskem oknu kot seznam1.

(http://www2.nauk.si/files/383/NarisanaAsimptota.jpg)

Rešitve

Torej, če zapišemo rešitve:

  • ničla:
  • pol:
  • vodoravna asimptota:
  • graf:

    (http://www2.nauk.si/files/383/Graf.jpg)



Rešitve v GeoGebri

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)


Filmček

Poklicna matura, 7.februar 2012 (Izpitna pola 1), 9. naloga

Vsebina

  • Besedilo naloge
  • Ponovitev snovi: trikotnik - kosinusni izrek in ploščina
  • Reševanje s programom GeoGebra

Vir: RIC

PDF: Izpitna pola

Besedilo naloge

V trikotniku velja: cm, cm in . Izračunajte dolžino stranice in ploščino trikotnika .

Trikotnik- kosinusni izrek in ploščina

Kosinusni izrek

Kvadrat stranice je enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic, zmanjšani za dvakratni produkt teh stranic s kosinusom vmesnega kota:



Ploščina trikotnika

  • Ploščino trikotnika lahko izračunamo kot produkt dveh stranic s sinusom vmesnega kota, kjer vse skupaj delimo z dve:
  • Lahko pa uporabimo Heronovo enačbo:

Reševanje naloge

Nalogo bomo rešili s pomočjo programa GeoGebra 4.2.

Točka A

Najprej si poljubno izberemo točko in njeno vrednost vpišemo v vnosno vrstico.

(http://www2.nauk.si/files/383/TočkaA.jpg)

Lahko tudi kliknemo na ikono Nova točka, kot je prikazano na spodnji sliki. Pri tem izberemo točko s poljubnik klikom na risalno površino.

(http://www2.nauk.si/files/383/TočkaA1.jpg)

Stranica c

Ko imamo točko , lahko narišemo stranico . Uporabimo ukaz Daljica in vpišemo začetno točko ter dolžino stranice.

(http://www2.nauk.si/files/383/Daljica1.jpg) (http://www2.nauk.si/files/383/Daljica2.jpg)

Lahko pa kliknemo na ikono Daljica z določeno dolžino. Ob kliku na točko se nam odpre okence, kamor vpišemo dolžino stranice .

(http://www2.nauk.si/files/383/Daljica3_0.jpg)



Zdaj imamo narisano prvo stranico trikotnika.

(http://www2.nauk.si/files/383/NarisanaDaljica.jpg)

Stranica b

Dolžino stranice bomo odmerili s pomočjo krožnice. Krožnica bo imela središče v točki , njen polmer pa bo enak dolžini stranice .

Krožnico lahko narišemo na dva načina. Prvi način je z uporabo ukaza Krožnica,

(http://www2.nauk.si/files/383/Krožnica1.jpg) (http://www2.nauk.si/files/383/Krožnica2.jpg)

drugi pa s klikom na ikono Krožnica s središčem in polmerom. Po kliku na ikono moramo klikniti še na središče krožnice in v okno vnesti polmer.

(http://www2.nauk.si/files/383/Krožnica3.jpg)



Naša risalna površina sedaj izgleda tako:

(http://www2.nauk.si/files/383/NarisanaKrožnica.jpg)

Da bi lahko narisali stranico , moramo še odmeriti kot med stranicama in (kot ). Ko to naredimo, lahko narišemo premico na kateri leži stranica .

Pri kotu si pomagamo s klikom na ikono Kot z dano velikostjo. Sedaj je potrebno klikniti še na točko in na točko ter v okence vpisati velikost kota.

(http://www2.nauk.si/files/383/Kot.jpg)

Na spodnji sliki vidimo, da je GeoGebra označila kot. Poleg tega pa se je pojavila točka , ki leži na stranici .

(http://www2.nauk.si/files/383/NarisanKot.jpg)



Narišemo še premico na kateri leži stranica . Zopet imamo dva možnosti. Lahko vnesemo ukaz Premica,

(http://www2.nauk.si/files/383/Premica1.jpg) (http://www2.nauk.si/files/383/Premica2.jpg)

ali pa kliknemo ikono Premica skozi dve točki, pri čemer seveda kliknemo na točki in .

(http://www2.nauk.si/files/383/Premica3.jpg)



Narisana premica:

(http://www2.nauk.si/files/383/NarisanaPremica.jpg)

Tretje oglišče

Na zadnji sliki prejšnje prosojnice smo že videli presečišče, ki določa zadnje oglišče trikotnika in seveda omejuje daljico . To presečišče je potrebno še označiti.

Najlažje je vnesti ukaz Presečišče in kot parametra podati krožnico in dobljeno premico.

(http://www2.nauk.si/files/383/Presečišče1.jpg) (http://www2.nauk.si/files/383/Presečišče2.jpg)

Seveda pa lahko kliknemo na ikono Presečišče dveh objektov in označimo krožnico in premico (lahko označimo tudi kar samo presečišče).

(http://www2.nauk.si/files/383/Presečišče3.jpg)



Dobimo dve presečišči in . Presečišča na sliki ne vidimo, nas pa tako zanima samo .

(http://www2.nauk.si/files/383/NarisanoPresečišče.jpg)

Trikotnik ABC

Presečišče je zadnje oglišče trikotnika poimenovanega , zato ga preimenujemo v .

Ko imamo podana vsa oglišče, lahko narišemo trikotnik. Uporabimo ukaz Mnogokotnik.

(http://www2.nauk.si/files/383/Trikotnik1.jpg) (http://www2.nauk.si/files/383/Trikotnik2.jpg)

Če nam je lažje pa lahko namesto tega klinemo na ikono Mnogokotnik. Lik narišemo tako, da po vrsti klikamo na oglišča in potem ponovno na prvega, da lik zaključimo.

(http://www2.nauk.si/files/383/Trikotnik3.jpg)



To je trikotnik s podatki iz naloge:

(http://www2.nauk.si/files/383/NarisanTrikotnik.jpg)

Rešitve

V algeberskem oknu so se v trenutku, ko smo narisali trikotnik pojavili rezultati, ki jih naloga zahteva:

  • dolžina stranice = 18.54cm
  • ploščina trikotnika = 33.94cm

Za boljšo preglednost je nekaj objektov, s katerimi smo si pomagali narisati trikotnik, skritih.

(http://www2.nauk.si/files/383/RešitevTrikotnik.jpg)


Rešitve v GeoGebri

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)


Filmček

Poklicna matura, 3. februar 2005 (Izpitna pola 1), 3. naloga

Vsebina

  • Besedilo naloge
  • Ponovitev snovi: kosinusni izrek in izražanje kota v stopinjah, minutah in sekundah
  • Reševanje naloge s programom Precise Calculator

Vir: RIC

PDF: Izpitna pola

Besedilo naloge

V trikotniku merijo stranice 5cm, 7cm in 11cm. Izračunajte največji kot tega trikotnika. Rešitev zaokrožite na minuto natančno.

Kosinusni izrek in izražanje kota v stopinjah, minutah in sekundah

Kosinusni izrek

Izrek lahko uporabimo, ko imamo podane dolžine vseh treh stranic in iščemo enega od notranjih kotov trikotnika.

Opomba

V poljubnem trikotniku velja, da največji kot leži nasproti najdaljše stranice.

Izražanje kota v stopinjah, minutah in sekundah

Upoštevamo pretvornike:

  • in min
  • in sec

Primer

min sec
Torej:

Reševanje naloge

Pri reševanju naloge si bomo pomagali s programom Precise Calculator.

Koti

Program si lahko zapomni kar nekaj spremenljivk, torej najprej dolžine naši stranic podamo kot tri različne spremenljivke.

(http://www2.nauk.si/files/383/Stranice_0.jpg)



Zdaj iščemo največji notranji kot trikotnika. Torej bomo s pomočjo kosinusnega izreka izračunali velikost kota nasproti stranice . Pri zapisovanju v zgornje (vpisno) okno bomo uporabili ukaz print, ker nam to omogoča, da bo ob izpisu pred rezultatom zapisano tudi kaj ta rezultat predstavlja (v našem primeru si želimo, da bi pisalo gama). Pri računanju potrebujemo tudi ukaz za arkus kosinus acos.

Rezultat je izpisan v spodnjem oknu. Natančnost (Precision) je nastavljena na 7 (to je bilo nastavljeno po izračunu kota, ker sem želela dobiti rezultat zaokrožen na štiri decimalna mesta natančno).

(http://www2.nauk.si/files/383/IzračunKota.jpg)

Pretvarjanje v minute

Največji kot imamo izračunan. Sedaj moramo rezultat zaokrožiti na minuto natančno.

Za pretvarjanje v minute vzamemo decimalni del števila in ga pomnožimo s 60. V našem primeru je potrebno rezultat zaokrožiti na celo število, za kar uporabimo ukaz round.

(http://www2.nauk.si/files/383/Minute_0.jpg)

Rešitve

Podatke, ki smo jih dobili, sedaj le še zapišemo v obliki rešitve:

(http://www2.nauk.si/files/383/Rezultat_1.jpg)


Filmček

Splošna matura, 26. avgust 2010 (Izpitna pola 1, Osnovna raven), 4. naloga

Vsebina

  • Besedilo naloge
  • Ponovitev snovi: kompleksna števila
  • Reševanje naloge s programom Precise Calculator

Vir: RIC

PDF: Izpitna pola

Besedilo naloge

Dano je kompleksno število . Izračunaj število .

Kompleksna števila

Zapis kompleksnega števila

kjer sta in realni števili. Pravimo, da je realni del števila , pa imaginarni del števila .

Seštevanje

Naj bo in , kjer so , , in realna števila. Potem je:


Imaginarna enota

Kompleksno število označimo z in imenujemo imaginarna enota.


Konjugirano število

Število dobimo iz tako, da spremenimo predznak imaginarnega dela.


Absolutna vrednost

Absolutna vrednost kompleksnega števila je dolžina vektorja, ki predstavlja število :

Reševanje naloge

Nalogo bomo rešili v programu Precise Calculator.

Zapis števila

Precise Calculator je računalo, ki zna računati tudi s kompleksnimi števili. Pri zapisu kompleksnega števila lahko imaginarno enoto zapišemo s pomočjo tipkovnice ali pa si pomagamo s funkcijo na kalkulatorju. Najprej moramo obkljukati okence Inv in nato kliknemo na gumb z oznako i.

(http://www2.nauk.si/files/383/ŠteviloZ_0.jpg)

Računanje

  • : pri računanju uporabimo znak ^ (lahko tudi poiščemo gumb z oznako ^2)
  • : pri računanju potrebujemo ukaz conjg
  • : pri računanju uporabimo ukaz abs (lahko tudi poiščemo gumb z oznako abs)

Izračuni za , in so v spodnjem oknu.

(http://www2.nauk.si/files/383/Računanje_0.jpg)

Rešitve

Glavni del smo sedaj že poračunali. Rezultate je potrebno le še vstaviti v izraz podan v nalogi.

Pozor! Pri pisanju izraza moramo paziti na množenje z . Program nam bo kot pravilno sprejel le zapis, ko je za številom in pred njim ni zapisanega znaka za množenje.

Vrednost izraza

(http://www2.nauk.si/files/383/Rezultat_2.jpg)


Filmček

0%
0%