Zbirka nalog

Zbirka nalog

Avtor: Gašper Bohinc

1. Naloga

Besedilo naloge:

Poenostavite izraz ; .


Viri:

Splošna matura, 25. avgust 2009, (Osnovna raven, Izpitna pola 1) 6. naloga

Matematično ozadje

Matematično ozadje:

Matematični izraz je zapis sestavljen iz:

  • števil,
  • spremenljivk, ki predstavljajo števila in jih označujemo s črkami,
  • računskih operacij in funkcij, ki jih povezujejo,
  • oklepajev, ki določajo vrstni red računanja.

Če v izraz namesto spremenljivk vstavimo konkretna števila in izračunamo rezultat, dobimo vrednost izraza (pri dani izbiri spremenljivk). Dva matematična izraza sta enakovredna, če imata pri katerikoli izbiri spremenljivk vedno enako vrednost.
Poenostavitev matematičnega izraza, pomeni da določeni izraz razstavimo in okrajšamo dokler se to da narediti.
Uporabljamo naslednje postopke oziroma formule:

  • Izpostavljanje:
  • Razlika kvadratov:
  • Razlika kubov:
  • Vsota kubov:
  • Razcep kvadratnega tričlenika po Viètovem pravilu:

V tem primeru razstavimo imenovalec tretjega člena in nato vse tri ulomke izpostavim z istim imenovalcem. Števec poračunamo in izpostavimo, kar se da, ter pokrajšamo ulomek.

Rešitev

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Nalogo rešimo s programom Mathematica. Program ima že vgrajeno funkcijo "Simplify", ki avtomatično pokrajša matematični izraz.

Rešitev naloge z Mathematico:

(http://www2.nauk.si/files/419/Naloga1_1.jpg)
Naloga1



Rešitev:

Rešitev poenostavitve matematičnega izraza ; je rezultat, ki ga dobimo s programom Mathematica .

Prenos datoteke:


Prenos

2. Naloga

Besedilo naloge:

Izračunajte ničle funkcije in narišite njen graf.


Viri:

Splošna matura, 25. avgust 2009, (Osnovna raven, Izpitna pola 1) 7. naloga

Matematično ozadje

Matematično ozadje:

Ničla funkcije je v matematiki tisto število , pri katerem je vrednost funkcije enaka . Torej ničlo funkcije poiščemo tako, da rešimo enačbo:

Na grafu ničli ustreza presečišče z abscisno osjo.

Rešitev

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Nalogo rešimo s pomočjo orodja GeoGebra. Funkcijo vnesemo preko vnosne vrstice in dobimo narisan graf naše funkcije . Nato uporabimo vgrajeno funkcijo "Roots", ki nam poišče ničle dane funkcije na nekem intervalu. V tem primeru sem se odločil poiskati ničle na intervalu . Reševanje naloge je opisano v spodnjem video-u.


Rešitev:

Na prvi sliki "Graf funkcije " imamo narisan graf naše funkcije . Na drugi sliki "Ničle funkcije ", pa so prikazane vse ničle na intervalu , sicer je teh ničel neskončno.

Prenos datoteke:


Prenos

3. Naloga

Besedilo naloge:

Dane algebrske izraze razstavite na čim več faktorjev v množici realnih števil.

  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
  • e)



Viri:

Splošna matura, 26. avgust 2011, (Osnovna raven, Izpitna pola 1) 2. naloga

Matematično ozadje

Matematično ozadje:

Faktorizacija (tudi razstavljanje ali razcepljanje) je matematični postopek, s katerim preoblikujemo število, izraz ali drug matematični objekt v obliko produkta faktorjev.
Faktorizacija mnogočlenikov (polinomov) je postopek preoblikovanja mnogočlenika v obliko produkta preprostejših mnogočlenikov. V realnem lahko vsak polinom stopnje 3 ali več zapišemo kot produkt linearnih in kvadratnih polinomov (tj. polinomov stopnje 1 in 2).

Uporabljamo naslednje postopke oziroma formule:

  • Izpostavljanje:
  • Razlika kvadratov:
  • Razlika kubov:
  • Vsota kubov:
  • Razcep kvadratnega tričlenika po Viètovem pravilu:

Rešitev

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Nalogo rešimo s programom Mathematica. Program ima že vgrajeno funkcijo "Factor", ki matematični izraz faktorizira dokler se to le da.

Rešitev naloge z Mathematico:

(http://www2.nauk.si/files/419/Naloga3_1.jpg)



Rešitev:

Torej z programom Mathematica pridemo do rešitev, ki pa so:

  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
  • e)

Prenos datoteke:


Prenos

4. Naloga

Besedilo naloge:

V koordinatnem sistemu sta narisana vektorja in . Zapišite ta dva vektorja s komponentama (koordinatama). Izračunajte vektor in ga narišite v koordinatni sistem. Izračunajte še vektor .

(http://www2.nauk.si/files/419/Naloga4_1.jpg)
4. Naloga

Viri:

Splošna matura, 9. junij 2012, (Osnovna raven, Izpitna pola 1) 8. naloga

Matematično ozadje

Matematično ozadje:

Vektor v matematiki in fiziki označuje element vektorskega prostora, ki ga lahko v dvo- ali trorazsežnem prostoru predstavimo z usmerjeno daljico. Usmerjena daljica je daljica, ki ima začetno točko A in končno točko B.
Vektorje ponavadi označimo s puščico nad imenom, npr.: . V matematiki velja, da lahko vektor vzporedno prenesemo v poljubno začetno točko, v fiziki pa je marsikdaj pomembno, katero začetno točko ima vektor.

Seštevanje vektorja

Seštevanje vektorjev določa Chaslesova identiteta:

Razlaga: Najprej moramo vektorja narisati tako, da leži začetna točka drugega vektorja v končni točki prvega (B). Vsota je potem vektor, ki poteka od začetne točke prvega (A) do končne točke drugega vektorja (C).

Množenje vektorja s številom

Rezultat množenja vektorja s številom je vektor , določen z naslednjimi lastnostmi:

  • vektor je vzporeden z danim vektorjem
  • dolžina vektorja je -krat tolikšna kot dolžina vektorja
  • če je , je enako orientiran kot ; če je , pa je orientiran nasprotno kot

Skalarni produkt

Skalarni produkt je računska opreacija, ki dvema vektorjema priredi število (skalar) po pravilu:

Razlaga: in sta dolžini danih vektorjev, pa pomeni kosinus kota, ki ga oklepata dana vektorja, če izhajata iz skupne začetne točke.

Rešitev

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Nalogo rešimo s programom GeoGebra. Ker želimo dobiti začetno sliko, bom naredil 3 točke A, B, C, ki bodo krajišča vektorja in . Nato z orodjem "vektor z začetno in končno točko" povežem točki AB in AC.
Iz algebrske vrstice lahko preberem komponente vektorja in .
Nato pa v vnosno vrstico vnesem vektor in ga označim z rdečo barvo.
V Vnosno vrstico vnesem še formulo in dobim z zeleno označen vektor

Rešitev:

Vektorja in zapisana kot komponenti:

Vektor ima komponente: , ter je narisan na drugi sliki "Izračuna vektor c".

Vektor ima komponente: in je narisan na tretji sliki "Izračunan vektor u".

Prenos datoteke:


Prenos

0%
0%