Zbirka nalog rešenih s programoma GeoGebra in Lingo

Zbirka nalog rešenih s programoma GeoGebra in Lingo

Avtor: Matic Černač

Splošna matura, 2. junij 2004 (Višja raven, Izpitna pola 2) 1. naloga

Besedilo naloge

Dani sta funkciji in .

  1. Ugotovite definicijski območji in ter njuni zalogi vrednosti. Izračunajte koordinati točke na grafu funkcije , v kateri je tangenta na graf vzporedna premici .
  2. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo abscisna os, premici in ter graf funkcije .
  3. Dokažite, da sta funkciji in druga drugi inverzni funkciji.

Vir naloge

  • Splošna matura, 2. junij 2004 (Višja raven, Izpitna pola 2) 1. naloga
  • Maturitetna pola je dostopna na naslovu RIC (državni izpitni center).

Splošna matura, 2. junij 2004 (Višja raven, Izpitna pola 2) 1. naloga

Reševanje 1. dela naloge

V vnosni vrstici GeoGebre najprej definiramo funkciji in na naslednji način: f(x)=ln((x-3)/2)+1 nato še
g(x)=2e^(x-1)+3.

  • Funkcija je definirana za tiste , kjer velja . Rešimo neenačbo in ugotovimo da je definirana za . Zaloga vrednosti pa so vsa realna števila.
  • Funkcija je definirana za vsa realna števila. Njena zaloga vrednosti je interval .
  • Narišemo premico oziroma zapisano v eksplicitni obliki .
  • Uporabimo ukaz Odvod za odvajanje funkcije . Izračunani odvod enačimo z (vemo da imata tangenta na graf in premica v iskani točki enak smerni koeficient) in izrazimo . Dobljeni predstavlja prvo koordinato iskane točke. V našem primeru je ta enaka . Drugo koordinato dobimo, če vstavimo v predpis za funkcijo . Dobimo . Iskana točka ima torej koordinate .
  • Točko še posebej označimo s pomočjo orodja Presečišče dveh objektov (tangente in funkcije , gl. posnetek reševanja)

Splošna matura, 2. junij 2004 (Višja raven, Izpitna pola 2) 1. naloga

Posnetek reševanja 1. dela naloge

Splošna matura, 2. junij 2004 (Višja raven, Izpitna pola 2) 1. naloga

Reševanje 2. dela naloge

  • Narišemo premici in . To lahko storimo preko vnosne vrstice.
  • Narisani premici predstavljata meje določenega integrala funkcije .
  • Ta določeni integral pa je ravno ploščina lika, ki ga poleg omenjenih premic omejuje še graf funkcije .
  • S pomočjo ukaza Integral določimo iskano ploščino, ki je enaka 6,44.

Splošna matura, 2. junij 2004 (Višja raven, Izpitna pola 2) 1. naloga

Posnetek reševanja 2. dela naloge

Splošna matura, 2. junij 2004 (Višja raven, Izpitna pola 2) 1. naloga

Reševanje 3. dela naloge

  • Inverz funkcije smo določili z zrcaljenjem le-te preko premice (simetrala lihih kvadrantov).
  • Inverzna funkcija ravno prekrije graf funkcije .
  • Sklepamo, da sta si in res inverzni. To dokažemo še računsko.

    Zamenjamo vlogi in v npr. funckiji , nato pa izrazimo .



    izrazimo y in dobimo
 
Inverz funkcije pa bi lahko določili tudi z ukazom Inverz v vnosni vrstici GeoGebre.

Splošna matura, 2. junij 2004 (Višja raven, Izpitna pola 2) 1. naloga

Posnetek reševanja 3. dela naloge

Linearna algebra 2006/07, 5. domača naloga, 1. naloga

Besedilo naloge

Za vsakega od naslednjih parov matrik , določi ali obstajajo , in . Tiste, ki obstajajo tudi izračunaj.

  • Prvi par
    ,
  • Drugi par
    ,
  • Tretji par
    ,

Vir naloge

  • 5. domača naloga pri predmetu Linearna algebra 2006/07, Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani (FMF UL)
  • Naloga je dostopna na spletni učilnici FMF UL.
  • Domača naloga

Ponovitev teorije - matrično seštevanje in množenje

Seštevanje matrik

Če sta dani dve matriki in , lahko določimo njuno vsoto kot matriko, ki jo izračunamo s seštevanjem istoležnih elementov, t. j. . Na primer:

(http://www2.nauk.si/files/430/matrikaSeštevanje.png)
Matrično seštevanje - primer

Množenje matrik

Množenje dveh matrik je izvedljivo le, če je število stolpcev prve matrike enako številu vrstic druge matrike. Če je matrika razsežnosti -krat-, ( vrstic, stolpcev) in je matrika razsežnosti -krat- ( vrstic, stolpcev), potem je njun produkt matrika razsežnosti -krat- ( vrstic, stolpcev) definiran kot: za vsak par in .

(http://www2.nauk.si/files/430/matrikaMnoženje.png)
Matrično množenje - primer

Vir slik

Članek o matrikah na Wikipediji

Linearna algebra 2006/07, 5. domača naloga, 1. naloga

Reševanje prvega para

,

  • Vektorje oz. matrike v GeoGebri vnesemo v vnosni vrstici tako, da komponente zapišemo med zavite oklepaje. Primer: vektor={1,2,3}.
  • Slabost je ta, da matrike lahko transponiramo, vektorjev pa ne.
  • Glede na zgoraj povedano ni moč izračunati , saj vektorja nista enakih dimenzij. Prvi je dimenzije 1x3, drugi 3x1.
  • lahko izračunamo, saj se število stolpcev prvega ujema s številom vrstic drugega vektorja.
  • Za to ni res, zato tak izračun ne obstaja.
  • Pri gre za skalarni produkt. Neposrednega ukaza za tak produkt v GeoGebri ni (vsaj ne v starejših različicah). Zato si pomagamo z ukazom Vsota[A*B].

Linearna algebra 2006/07, 5. domača naloga, 1. naloga

Posnetek reševanja prvega para

Linearna algebra 2006/07, 5. domača naloga, 1. naloga

Reševanje drugega para

,

  • Iz podobnih razlogov kot pri reševanju prvega para tudi tukaj ni možno izračunati in , lahko pa izračunamo .
  • Operacija vrne {{},{}}.
  • Operacija vrne nedefinirano.
  • Operacija vrne matriko .

Linearna algebra 2006/07, 5. domača naloga, 1. naloga

Posnetek reševanja drugega para

Linearna algebra 2006/07, 5. domača naloga, 1. naloga

Reševanje tretjega para in posnetek reševanja

,

  • Matriki sta enakih dimenzij, zato lahko izračunamo , in (glej Posnetek reševanja).

Optimizacija 2010/11, Praktična matematika, 1. kolokvij, 24.11.2010

Prva naloga - besedilo

Proizvajalec kalkulatorjev proizvaja dva modela: znanstveni kalkulator in grafični kalkulator. Zaradi ohranjanja tržnega deleža mora vsak dan proizvesti vsaj 100 znanstvenih in vsaj 80 grafičnih kalkulatorjev. Produkcijske zmožnosti mu dopuščajo proizvodnjo največ 200 znanstvenih in 170 grafičnih kalkulatorjev na dan. Pogodba s trgovcem ga zavezuje k dobavi vsaj 200 oz. 220 kalkulatorjev na dan.

Vsak prodani znanstveni kalkulator za proizvajalca pomeni izgubo 2 EUR, grafični kalkulator pa mu prinese dobiček 5 EUR. Koliko kalkulatorjev posamezne vrste naj proizvaja, da bo imel čim večji dobiček?

Optimizacija 2010/11, Praktična matematika FMF UL, 1. kolokvij, 24.11.2010

Postopek reševanja (1)

Optimizacija 2010/11, Praktična matematika FMF UL, 1. kolokvij, 24.11.2010

Postopek reševanja (2)

Optimizacija 2010/11, Praktična matematika FMF UL, 1. kolokvij, 24.11.2010

Druga naloga - besedilo

Poiščite vse rešitve naslednjega programa.





Optimizacija 2010/11, Praktična matematika FMF UL, 1. kolokvij, 24.11.2010

Postopek reševanja

Matematika za poslovne in ekonomske vede, EF UL, pisni izpit, pola A, 28.1.2013

Druga naloga - besedilo

Dana je funkcija .
Poišči njeno definicijsko obomočje, ničle, pole, ekstreme, intervale naraščanja in padanja ter prevoje. Skiciraj njen graf.

Rešitev

  • f je definirana za vsa realna števila, saj je diskriminanta funkcije enaka -1 in je za vsak .
  • Ničle:
  • Polov ni.
  • Za ekstreme in prevoje glejte naslednjo prosojnico.
  • Interval naraščanja: .
  • Interval padanja: .

Matematika za poslovne in ekonomske vede, EF UL, pisni izpit, pola A, 28.1.2013

Ekstremi in prevoji - posnetek

Matematika za poslovne in ekonomske vede, EF UL, pisni izpit, pola A, 28.1.2013

Četrta naloga - besedilo

Študent Janez bo šel v prvem roku na štiri izpite. Za vsakega od izpitov je verjetnost, da uspešno opravi, enaka . Posamezni izpiti so neodvisni.

a) Kolišna je verjetnost, da naredi natanko dva izpita?
b) Kolišna je verjetnost, da naredi vsaj dva izpita?
c) Po izpitih Janez izve, da je naredil vsaj dva izpita. Kolikšna je tedaj verjetnost, da je naredil vsaj tri izpite?

Označimo dogodke: A = ”naredi natanko 2 izpita”, B = ”naredi vsaj 2 izpita”, C = ”naredi vsaj 3 izpite”

Matematika za poslovne in ekonomske vede, EF UL, pisni izpit, pola A, 28.1.2013

Četrta naloga - rešitev

0%
0%