GeoGebra - stožnice

GeoGebra - stožnice

Avtor: BarbaraZarabec

Osnovne informacije o GeoGebri

  • GeoGebra je program za matematiko in druge naravoslovne vede.
  • Uporaba programa je zelo jasna, zato ga lahko uporabljamo na na vseh nivojih izobraževanja - od osnovnošolskega do univerzitetnega nivoja.
  • Program združuje geometrijo, algebro in tabelno preračunavanje, pomaga pri načrtovanju grafov, ravninskih krivulj, statističnih preračunih, pri poučevanju diferencialnega računa in še bi lahko naštevali (vir: http://www.geogebra.org/cms/sl/info)

V nadaljevanju predstavitve je predvideno, da osnovne informacije o programu že poznamo.

(http://www2.nauk.si/files/678/geogebra_logo.png)

Krivulje drugega reda - stožnice

Preden si ogledamo konstruiranje stožnic v GeoGebri, na hitrro ponovimo še nekaj o stožnicah.

Torej, stožnice so dvorazsežne presečne krivulje, ki nastanejo, če presekamo krožni stožec z ravnino.

  • splošna oblika enačbe stožnice:

Poznamo izrojene in neizrojene stožnice.

Neizrojene stožnice so:

  • krožnica in elipsa - je sklenjena krivulja, ki nastane, če presekamo stožec z ravnino

    • Krožnica je poseben primer elipse, kjer je ravnina pravokotna na os stožca.
  • parabola - nastane, ko stožec presekamo z ravnino, ki je vzporedna s kakšno tvorilko stožca
  • hiperbola - presečna krivulja je odprta, ravnina pa ni vzporedna tvorilki stožca

Izrojene stožnice:

  • točka ali par premic - ravnina (s katero stožec presekamo) seka vrh stožca
(http://www2.nauk.si/files/678/Coniques_cone-sl.png)

Osnovno okno Geogebre

GeoGebro sicer že poznamo, ampak za obuditev spomina ...

  • levo na sliki je algebrsko okno, kamor se zapišejo koordinate vseh točk in enačbe vseh stožnic, ki jih konstruiramo.
  • večji del osnovnega okna zavzema risalna površina, kamor narišemo vse želene konstrukcije na ravnino koordinatnega sistema.
  • pod algebrskim oknom in risalno površino je vnosna vrstica, kamor zapišemo želene ukaze.
  • nad algebrskim oknom in risalno površino v orodjarni ležijo orodja, s katerimi prav tako lahko konstruiramo točke, različne stožnice ...
(http://www2.nauk.si/files/678/osnovnoOkno.bmp)

Krožnica

Vse izmed naštetih stožnic lahko konstruiramo na dva načina:

  • s pomočjo orodja, ki ga izberemo v orodjarni
  • s pomočjo ukaza, ki ga vnesemo v vnosno vrstico

Konstrukcija krožnice s pomočjo orodja:

  • Krožnica s središčem in točko na njej (izberemo središče in točko, ki leži na krožnici)
  • Krožnica s središčem in polmerom (izberemo središče, v prikazano okno vpišemo polmer)
  • Krožnica s polmerom (izberemo daljico ali dve točki za polmer, nato pa še središče)
  • Krožnica skozi tri točke (izberemo si tri točke, ki ne ležijo na isti premici)

Konstrukcija krožnice s pomočjo ukaza:

(http://www2.nauk.si/files/678/ukaziKroznica.bmp)

Primer krožnice s rediščem in točko na njej. Vidna je tudi enačba krožnice.

(http://www2.nauk.si/files/678/kroz1.bmp)

Elipsa

Tako kot krožnico, lahko tudi elipso konstruiramo na dva načina.

Konstrukcija elipse s pomočjo orodja:

  • Elipsa (izberemo gorišči in točko na elipsi)

Konstrukcija elipse s pomočjo ukaza:

  • Pri vnosu ukaza moramo biti pozorni, saj če je dvakratna dolžina glavne osi manjša kot razdalja med goriščema, dobimo hiperbolo in NE elipse, kljub temu, da želimo konstruirati elipso.
(http://www2.nauk.si/files/678/ukaziElipsa.bmp)

Primer elipse, ki je konstruirana z goriščema in točko, ki leži na elipsi. Vidna je tudi enačba elipse.

(http://www2.nauk.si/files/678/elipsa.bmp)

Parabola

Za konstrukcijo parabole potrebujemo točko (gorišče) in premico (vodnico), ki ju moramo vnesti v primeru uporabe ukaza oz. ju izbrati v primeru uporabe orodja.

Zopet lahko konstruiramo na dva načina.

Konstrukcija parabole s pomočjo orodja:

  • Parabola

Konstrukcija parabole s pomočjo ukaza:

(http://www2.nauk.si/files/678/parabola.bmp)

Primer parabole, ki je narisana s pomočjo vodnice (ki poteka skozi točki A in B) in gorišča (točka C).

(http://www2.nauk.si/files/678/parabola1.bmp)

Hiperbola

Tako kot ostale stožnice, lahko tudi hiperbolo konstruiramo na dva načina.

Konstrukcija hiperbole s pomočjo orodja:

  • Hiperbola (izberemo gorišči ter točko, ki leži na hiperboli)

Konstrukcija hiperbole s pomočjo ukaza:

  • Pri vnosu ukaza moramo biti pozorni, saj če je dvakratna dolžina glavne osi večja kot razdalja med goriščema, dobimo elipso in NE hiperbole, kljub temu, da želimo konstruirati hiperbolo.
(http://www2.nauk.si/files/678/hiperbola.bmp)

Primer konstrukcije hiperbole z goriščema in točko na hiperboli. Vidna je tudi enačba hiperbole.

(http://www2.nauk.si/files/678/hiperbola1.bmp)

Stožnica skozi 5 točk

Zanimivo v programu GeoGebra je, da lahko vse stožnice konstruiramo tudi samo s pomočjo petih točk. Točke lahko izberemo naključno, odvisno od izbire pa je tudi, katera izmed stožnic bo nastala (seveda morajo biti točke nekolinearne).

Tudi to lahko naredimo z uporabo orodja oz. ukaza.

Konstruiranje stožnic s pomočjo orodja:

  • Stožnica skozi pet točk

Konstruiranje stožnic s pomočjo ukaza:

S pomočjo ukaza lahko stožnice konstruiramo na dva načina:

  • skozi 5 točk

    • primer: Stožnica[(0, -4), (2, 4), (3,1), (-2,3), (-3,-1)]
    • Če izberemo 4 točke, ki ležijo na isti premici, stožnice ne moremo definirati.
  • vnesemo koeficiente enačbe a⋅x^2+d⋅xy+b⋅y^2+e⋅x+f⋅y=−c.

    • primer: 2x² + 4xy + 3y² + 2x - 3y = 1 -> Stožnica[2, 3, -1, 4, 2, -3]
    • lahko si pomagamo z ukazom Koeficienti[ <stožnica> ] in dobimo koeficiente v pravilnem vrstnem redu
(http://www2.nauk.si/files/678/stoznica.bmp)

Primer uporabe ukaza stožnice s pomočjo petih točk (elipsa, parabola, hiperbola).

(http://www2.nauk.si/files/678/stoznice2.bmp)

Primer dejanske postavitve točk, s katero dobimo različne stožnice, se nahaja na naslednji prosojnici.

Primer

Drugi ukazi

Pri stožnicah oz. pri reševanju nalog s stožnicami nam v pomoč pridejo tudi drugi ukazi v GeoGebri, s katerimi s slike preberemo oz. dobimo želene podatke (gorišča, temena ...):

  • Asimptota[ <stožnica> ]
  • OsiStožnice[ <stožnica> ]
  • Središče[ <stožnica> ]
  • Premer[ <premica>, <stožnica> ]
  • Vodnica[ <stožnica> ]
  • Gorišče[ <stožnica> ]
  • NumeričnaEkscentričnost[ <stožnica> ]
  • LinearnaEkscentričnost[ <stožnica> ]
  • GlavnaOs[ <stožnica> ]
  • DrugaOs[ <stožnica> ]
  • Parameter[ <Parabola> ]
  • DolžinaGlavnePolosi[ <stožnica> ]
  • Obseg[ <stožnica> ] (pri hiperboli in paraboli obsega (oz. ploščine) ni)
  • ...

Primer uporabe različnih ukazov na sploši elipsi.

(http://www2.nauk.si/files/678/elipsaVse.bmp)

Primer uporabe je prikazan tudi v obliki filmčka na naslednjih dveh prosojnicah. Na prvi prosojnici je prikazan primer uporabe razlučnih ukazov na poljubni stožnici, na drugi prosojnici pa je prikazan primer reševanja maturitetne naloge, ki vsebuje temo stožnic.

Primer: uporaba ukazov

Primer: maturitetna naloga

0%
0%