Zbirka rešenih nalog

Zbirka rešenih nalog

Avtor: BarbaraZarabec

Prva naloga

  • Besedilo:

Elipsa na sliki ima temena v točkah A(0,0), B(8,0), C(4,-2) in D(4,2). Napišite enačbo te elipse in izračunajte razdaljo med njenima goriščema F1 in F2.

(http://www2.nauk.si/files/718/elipsa.bmp)
  • Vir:

7. naloga, Splošna matura 27. avgust 2012 (jesenski rok), Višja raven, Izpitna pola 1, dosegljiva na naslovu državnega izpitnega centra

  • Datoteka:

mathematica

Reševanje naloge s programom Mathematica

Naloga je enostavna, vedeti moramo le kakšna je enačba elipse v splošni legi, torej

,

kjer in predstavljata koordinati središča elipse, in pa polosi elipse.

Na sliki vidimo, da razdalja med točko in predstavlja os , torej moramo izračunati razdaljo med točkama in jo razpoloviti.

(http://www2.nauk.si/files/718/polosi.bmp)

Središče elipse se torej nahaja v točki (v presečisšču obeh osi). Imamo znane vse potrebne spremenljivke in lahko dobimo enačbo elipse.

(http://www2.nauk.si/files/718/enačbaElipse.bmp)

Izračunati moramo še razdaljo med goriščema. Gorišči se nahajata v točkah F1 in F2, razdalja med njima pa je enaka 2e, kjer e predstavlja linearno ekscentričnost, katero izračunamo po formuli

(http://www2.nauk.si/files/718/e.bmp)

Linearna ekscentričnost je torej:

(http://www2.nauk.si/files/718/izracunanE.bmp)

Razdalja med goriščema pa

(http://www2.nauk.si/files/718/razdaljaMedGoriscema.bmp)

Druga naloga

  • Besedilo naloge:

Funkcija f je podana s predpisom . Določi definicijsko območje, lokalne ekstreme, intervale naraščanja in padanja, prevoje, intervale konveksnosti in konkavnosti, limite na robu definicijskega območja, ter skiciraj graf.

  • Vir:

1. izpit iz predmeta Analiza 1, 2. naloga, š. l. 2012/13, Fakulteta za matematiko in fiziko, Finančna matematika Univerza v Ljubljani

Izpit je dosegljiv na spletni strani FMF-ja, kamor se lahko prijavite kot gost.

  • Datoteka:

mathematica

Reševanje naloge s programom Mathematica

Pri računajnu posameznih vrednosti si bomo pomagali z Mathematico in njenimi ukazi.

  • Da bomo v nadaljevanju lažje reševali nalogo, si funkcijo posebej definiramo.
(http://www2.nauk.si/files/718/defFunkcija.bmp)
  • Naslednje je defenicijsko območje, katero lahko preberemo z grafa. Funkcijo narišemo s pomočjo ukaza Plot, kamor kot parameter vnesemo tudi interval, na kateremo želimo, da se funkcija izriše.
(http://www2.nauk.si/files/718/grafInDf.bmp)
  • Nadaljujemo z lokalnimi ekstremi, torej moramo poznati prvi in drugi odvod funkcije. Uporabimo ukaz za odvod: D.
(http://www2.nauk.si/files/718/defOdvodi.bmp)

Z ničlami prvega odvoda dobimo točke, kjer se nahajajo ekstremi, s pomočjo drugega odvoda pa izvemo še, ali gre za minimum ali maksimum.

(http://www2.nauk.si/files/718/lokalniEkstremi.bmp)
  • Za naraščanje in padanje funkcije prav tako uporabimo prvi odvod funkcije.
(http://www2.nauk.si/files/718/narascaPada.bmp)
  • Prevoj funkcije se nahaja v točki, kjer je drugi odvod enak 0.
(http://www2.nauk.si/files/718/prevoj.bmp)
  • Konveksnost in konkavnost funkcije, zopet uporabimo odvod, tokrat drugi.
(http://www2.nauk.si/files/718/konvKonk.bmp)
  • Izračunati moramo še limiti funkcije na robu defenicijskega območja. Pomagamo si z ukazom Limit.
(http://www2.nauk.si/files/718/limiti.bmp)

Tretja naloga

  • Besedilo naloge:

V dani koordinatni sistem narišite krožnico . Računsko pokažite, da točka leži na dani krožnici. Zapišite koordinati točke , če je tetiva premer krožnice. Nalogo rešujte brez uporabe računala.

  • Vir:

7. naloga, Splošna matura 8. junij 2013 (spomladanski rok), Višja raven, Izpitna pola 1, dosegljiva na naslovu državnega izpitnega centra

  • Datoteka:

geogebra

Reševanje naloge s programom GeoGebra

Za lažjo konstrukcijo krožnice, si pmagamo z ukazom Koeficienti, ki nam koeficiente stožnice postavi v seznam v pravilnem vrstnem redu.

(http://www2.nauk.si/files/718/koeficienti.bmp)

Seznam koeficientov, ki nastane.

(http://www2.nauk.si/files/718/koef.bmp)

Nadaljujemo z ukazom Stožnica, ki nam želeno stižnico nariše. Kot parameter vnesemo ime seznama, kjer so shranjeni koeficienti enačbe krožnice.

(http://www2.nauk.si/files/718/stoznica.bmp)

Z ukazom Središče dobimo središče krožnice.

(http://www2.nauk.si/files/718/sredisce.bmp)

Nato na risalni površini označimo še točko z znanimi koordinatami in dobimo naslednjo sliko.

(http://www2.nauk.si/files/718/slikaSinA.bmp)

Preveriti moramo, če točka leži na krožnici. Uporabimo orodje Relacija med objektoma, izberemo oba objekta in vidimo v kakšni relaciji sta.

(http://www2.nauk.si/files/718/relacija.bmp) (http://www2.nauk.si/files/718/relacija1.bmp)

Nato skozi točki in narišemo premico in kjer premica prečka krožnico leži točka .

(http://www2.nauk.si/files/718/premica.bmp) (http://www2.nauk.si/files/718/b.bmp) (http://www2.nauk.si/files/718/tocke.bmp)

V algebrskem oknu se nam izpisujejo vse koordinate točk na risalni površini. Točka ima koordinati

Reševanje naloge s porogramom GeoGebra - wink

Četrta naloga

  • Besedilo naloge:

Nalogo rešite brez uporabe računala.

Dana je funkcija .

a) Zapišite definicijsko območje in narišite graf funkcije .

b) Izračunajte tangens kota med grafom funkcije f in premico v presečišču s pozitivno absciso.

c) Natančno izračunajte ploščino lika, ki ga oklepajo graf funkcije ter premice , , in .

d) Poiščite tiste točke na grafu funkcije , ki so od vodoravne asimptote te funkcije oddaljene za .

  • Vir:

1. naloga, Splošna matura 8. junij 2013 (spomladanski rok), Višja raven, Izpitna pola 2, dosegljiva na naslovu državnega izpitnega centra

  • Datoteka:

mathematica

Reševanje naloge s programom Mathematica, podnaloga a

Graf funkcije narišemo s pomočjo ukaza Plot, kot parameter vnesemo še interval, na katerem se funkcija nariše.

Defenicijsko območje lahko preberemo z grafa.

(http://www2.nauk.si/files/718/graf.bmp)

Defenicijsko območje je torej .

Reševanje naloge s programom Mathematica, podnaloga b

Najprej moramo poiskati presečišče dane funkcije s funkcijo . Pomagamo si z ukazom Solve.

(http://www2.nauk.si/files/718/presecisce.bmp)

Izračunamo še vrednost koordinate in dobimo presečišče .

Za tangens kota potrebujemo odvoda obeh funkcij (za kar uporabimo ukaz D) in vrednosti odvoda v presečišču, da dobimo koeficienta obeh tangent.

Odvod funkcije :

(http://www2.nauk.si/files/718/odvod1.bmp)

Izračunamo vrednost odvoda v presečišču:

(http://www2.nauk.si/files/718/vrednost1.bmp)

Prvi koeficient k1 = -2.

Izračunamo še odvod funkcije .

(http://www2.nauk.si/files/718/odvod2.bmp)

Drugi koeficient k2 = 1.

Za izračun tangensa uporabimo formulo:

(http://www2.nauk.si/files/718/tan1.bmp)

V enačbo le še vstavimo koeficienta in dobimo zahtevan rezultat.

(http://www2.nauk.si/files/718/tangens.bmp)

Tangens kota je torej enak 3.

Reševanje naloge s programom Mathematica, podnaloga c

Izračunati moramo ploščino nastalega lika in za lažjo predstavo si narišemo graf (x = 1 je pol, graf narišemo na intervalu, ki sega do x = 5).

(http://www2.nauk.si/files/718/grafIntegrala.bmp)

Ploščino računamo z integralom, katerega razdelimo na dva dela.

Prvi del je na intervalu , 1 zaradi omejitve naloge, za pa smo že pri prejšnji podnalogi izračunali, da je to presečišče grafa in premice . Drugi del ploščine pa je na intervalu . Robove integralov vzamemo za meje integralov za izračun ploščine.

(http://www2.nauk.si/files/718/ploscina.bmp)

Ploščina je torej .

Reševanje naloge s programom Mathematica, podnaloga d

Pogledati moramo dve možnosti, saj je lahko točka oddaljena v "pozitivni" in pa tudi v "negativni" smeri, ker pa je vodoravna asimptota grafa , gre za in .

Rešimo dve enačbi in dobimo 4 različne točke.

(http://www2.nauk.si/files/718/enacbi.bmp)

Točke, ki jih dobimo so:

0%
0%