V tem gradivu je s pomočjo orodij Mathematica in Geogebra rešenih nekaj matematičnih problemov. Viri nalog so maturitetne pole ter izpiti iz matematične fakultete. Pri vsakem problemu je predstavljeno matematično ozadje problema, ideja rešitve, sam postopek reševanja, slike ter filmčke, ki prikazujejo reševanje.

VIR: 1. naloga na 2. izpitu iz Analize 1, smer: Finančna matematika, 15. 6. 2012
Naloga je dosegljiva na klik.


BESEDILO NALOGE: Funkcija $f$ je podana s predpisom $f(x) = (x*\sqrt{x+2})/(x-1)$. Določi definicijsko območje funkcije $f$, njene ničle, lokalne ekstreme, intervale naraščanja in padanja, limite na robu definicijskega območja ter skiciraj njen graf.

Za rešitev te naloge moramo poznati racionalne funkcije - kaj potrebujemo, da narišemo lep graf in kako se taka funkcija obnaša.

1. Ničle racionalne funkcije se izračunajo kot ničle števca funkcije; poli pa kot ničle imenovalca.
   
   
2. Kandidati za lokalne ekstreme so ničle odvoda funkcije. Ko jih ugotovimo, izračunamo še vrednosti funkcije v teh točkah in vidimo, ali smo dobili lokalni minimum ali lokalni maksimum. Kadar pa imamo graf, lahko iz njega nekatere podatke kar razberemo.
   
   
3. Lokalni ekstremi pa prav tako določajo meje intervalov naraščanja in padanja.
   
   
4. Da bi ugotovili, kako se funkcija obnaša na robovih definicijskega območja, pa moramo izračunati limiti funkcije, kadar pošljemo x v obe skrajnosti.

Funkcija: $f(x) = (x*\sqrt{x+2})/(x-1)$

Nalogo rešujemo v programu Mathematica, zato moramo poznati ukaze, ki jih potrebujemo za rešitev problema. Najprej definiramo dano funkcijo. Za lažjo predstavo, jo najprej z ukazom Plot narišemo v mejah (-2 $PI$, 2 $PI$). Preverimo, kje lahko pri predpisu funkcije pride do problemov: ker mora biti število pod korenom nenegativno, je x >= 2. Tudi iz grafa lahko sklepamo, da funkcija navzgor ni omejena. Torej je definicijsko območje funkcije $[-2, [Infinity])$.

Iz funkcije in tudi iz grafa razberemo ničle ter pol. Ukaz Solve reši enačbo. Zato enačimo funkcijo z 0 in vidimo, da sta ničli pri x=-2 in x=0; če pa bi z 0 enačili imenovalec, vidimo, da je pol funkcije pri x=1.

Graf funkcije f

Lokalne ekstreme določimo tako, da najprej poiščeme kandidate. To so ničle odvoda (uporabimo ukaza D in Solve) in sicer x=-1 in x=4. Sedaj moramo izračunati še vrednosti funkcije v teh točkah. Vidimo, da funkcija v x=-1 doseže lokalni maksimum, v x=4 pa lokalni minimum. Vrsto ekstrema lahko izberemo kar iz grafa funkcije.

Lokalni ekstremi določajo tudi meje intervalov naraščanja in padanja. Tudi te podatke razberemo iz grafa: funkcija narašča na intervalih [-2, -1] U [4,[Infinity]) in pada na [-1, 4] \ {1}.

Za obnašanje funkcije na robovih definicijskega območja, izračunamo limiti funkcije, kadar gre x proti-2 in proti [Infinity]. Za to uporabimo ukaz Limit.
Izračunati pa moramo še levo in desno limito funkcije pri x = 1, saj tam zaradi pola ni definirana. Ukaz v Mathematici je identičen ukazu za limito, vendar ima dodaten parameter. To je Direction, ki ga pošljemo proti 1, če računamo levo limito in ga pošljemo proti -1, če računamo desno limito

V filmčku je prikazan postopek rešitve. Prav tako vidimo sedaj tudi vse ukaze in način, kako smo jih uporabili.

VIR: MATEMATIKA, Zbirka maturitetnih nalog z rešitvami 1995 - 2006. Državni izpitni center, Ljubljana, 2006. Stran 96, naloga 32.
Naloga je dosegljiva na klik.


BESEDILO NALOGE: Zapiši enačbo krožnice, ki poteka skozi izhodišče koordinatnega sistema, njeno središče pa je v presečišču premic $2x - 3y - 9 = 0$ in $y + 1 = 0$.

Naloga matematično ni zahtevna.

1. Presečišče premic izračunamo tako, da ju enačimo ter dobimo x koordinato. To vstavimo v eno izmed obeh premic in dobimo še y koordinato presečišča.

Nalogo bomo rešili s pomočja orodja GeoGebra.

• Definiramo dani premici. Ker lahko enačbo premice v GeoGebri podamo tudi v implicitni obliki, enačbi premic ni potrebno spreminjati v eksplicitno obliko.
  

• Označimo presečišče premic ter koordinatno izhodišče.
  
  

  

  
  

• Uporabimo orodje za krožnico, ki dobi za parameter središče (presečišče premic) in točko na krožnici (koordinatno izhodišče).
  

• Enačba krožnice je enaka: $(x+3)^2 + (y+1)^2 = 10$.
  
  

  

VIR: MATEMATIKA. Zbirka maturitetnih nalog z rešitvami 1995-2002. Ljubljana, Državni izpitni center, 2003. Stran 182, naloga 41.
Naloga je dosegljiva na klik.


BESEDILO NALOGE: Dana je funkcija $f(x) = 2 - e^x$.

a) Določite asimptoto grafa, presečišče grafa s koordinatnima osema in narišite graf funkcije.

b) Natančno izračunajte kot $α$, pod katerim graf funkcije $f$ seka ordinatno os. Na stotinko stopinje natančno izračunajte kot $β$, pod katerim graf funkcije $f$ seka abscisno os.

c) Natančno izračunajte ploščino območja med grafom funkcije $f$ in koordinatnima osema. Nato rezultat zaokrožite na 4 mesta.

1. Presečišči grafa s koordinatnima osema predstavljata ničlo ter začetno vrednost funkcije. Ko funkcijo enačimo z 0, dobimo ničlo; kadar pa izračunamo f(0), dobimo začetno vrednost funkcije. Asimptota je premica, kateri se graf naše funkcije v neskončnosti približa.
   

1. Za izračun kotov med grafom funkcije ter koordinatnima osema potrebujemo smerne koeficiente tangent na graf v točkah A in B, kjer sta ti dve točki presečišči grafa z x ter y osjo. Velikost kota potem samo izračunamo po naslednji formuli: $tanφ = (k2-k1)/(1+k1*k2)$, kjer sta k1 in k2 smerna koeficienta tangent.
   

1. Ploščina lika med grafom funkcije ter koordinatnima osema pa je enaka določenemu integralu funkcije v določenih mejah. Le-te določimo tako, da pogledamo, kje graf funkcije seka x os.

Funkcija: $f(x) = 2 - e^x$

a) Funkcijo najprej narišemo tako, da njen predpis definiramo v ukazni vrstici in na risalni površini se nam avtomatsko izriše njen graf. Z ukazom za presečišče dveh objektov označimo presečišči grafa s koordinatnima osema: A(0.69, 0) in B(0, 1).

Graf funkcije ter presečišči grafa z x ter y osjo.

Za vodoravno asimptoto grafa logično premislimo:
--> Če bi imeli funkcijo $e^x$, bi bila asimptota grafa y = 0.
--> Če bi bi imeli funkcijo $-e^x$, bi bila asimptota še vedno enaka y = 0, saj bi se graf samo0 prezrcalil čez x os.
--> Sedaj pa imamo funkcijo $-e^x + 2$, torej je graf te funkcije premaknjen za 2 v pozitivno smer y osi. To pomeni, da je asimptota grafa enaka y = 2.

b) Izračunali smo že presečišču grafa s koordinatnima osema. Sedaj na graf funkcije narišemo tangenti v teh točkah. GeoGebra ponuja orodje, ki izračuna kot med dvema premicama. Uporabimo ga ter za premico izberemo enkrat y os ter tangento v točki A, nato pa postopek ponovimo še s tangento na graf v točki B ter z x osjo.
Kota imata velikosti: α = 135° in β = 63.43°.

Tangenti na graf ter kota.

c) Ploščino lika, ki ga omejujejo graf funkcije f ter koordinatni osi, izračunamo s pomočjo določenega integrala. V GeoGebri za to uporabimo ukaz Integral, kjer iz grafa določimo spodnjo ter zgornjo mejo za x. Spodnja meja je x=0, zgornja pa x=0.69.
V razdelku "Options/Rounding" nastavimo zaokroževanje na 4 decimalna mesta in izračunamo a, ki je enak 0.3863.

Ploščina lika.

VIR: MATEMATIKA, Zbirka maturitetnih nalog z rešitvami 1995 - 2006. Državni izpitni center, Ljubljana, 2006. Stran 110, naloga 78.
Naloga je dosegljiva na klik.


BESEDILO NALOGE: V pravokotnem koordinatnem sistemu v ravnini so dane točke $A(-2, 4)$, $B(4, 4)$ in $C(5, 3)$.

a) Izračunajte kot med daljicama OB in AC. (Točka O je izhodišče koordinatnega sistema.) Rezultat zaokrožite na kotno minuto.

b) Zapišite enačbo krožnice, ki poteka skozi točke A, B in C. Koliko meri polmer te krožnice?

c) Zapišite enačbo tiste elipse z goriščema A in B, ki poteka skozi točko C. Elipso narišite v koordinatni sistem.

Za rešitev naloge moramo poznati geometrijo ter krivulje drugega reda, bolj natančno: krožnico in elipso.

1. Za računanje velikosti kota bi izračunali smerne koeficiente nosilk daljic (k1 in k2) ter nato velikost kota izračunali po formuli $tanφ = (k2 - k1)/(1 + k1*k2)$.
   
   
2. Enačba krožnice je $(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2$. Iz podatkov o točkah poznamo x in y koordinate, zato problem prevedemo na sistem treh enačb s tremi neznankami. Poračunamo in dobimo neznanke p, q ter r. Polmer krožnice, ki ga iščemo, je natanko r.
   
   
3. Da bi narisali elipso, moramo poznati njeni gorišči. To sta točki, za kateri velja, da je vsota njunih razdalj do katerekoli točke na elipsi konstantna.

Nalogo bomo rešili s pomočjo orodja GeoGebra.

• Najprej definiramo točke A(-2, 4), B(4, 4), C(5, 3) ter O(0, 0).
  

• Ker rabimo kot med daljicama OB in AC, uporabimo orodje za daljico med dvema točkama in povežemo najprej točki O in B, nato pa še A in C.

• Iščemo kot med daljicama, zato bomo najprej s točko D označili njuno presečišče. Sedaj lahko uporabimo orodje za kot, kjer po vrsti kliknemo na točke C, D, B. Vidimo, da je kot enak 53.13°.
  Sedaj moramo kot 53,13° izraziti s stopinjami in minutami: 53,13° = 53° + 0,13*60' = 53° + 7,8' = 53°7,8' = 53°8'.
  
  

  

• Za enačbo krožnice izberemo orodje, ki nariše krožnico skozi tri točke in nato s klikom izberemo točke A, B in C.
• Iz enačbe vidimo, da je kvadrat polmera enak 25, zato je polmer krožnice enak 5.
  

• Tudi za elipso izberemo orodje, kjer moramo izbrati gorišči in še neko točko, skozi katero elipsa poteka. Zato najprej izberemo A in B, nato pa še C.

V filmčku je po korakih prikazan postopek rešitve.