zbirka rešenih nalog

zbirka rešenih nalog

Avtor: Jasmina Satler

2. kolokvij Linearne algebre(17.1.2006), naloga 3

Podatki o nalogi:

  • vir: Fakulteta za matematiko in fiziko, smer Praktična matematika, 2.kolokvij iz linearne algebre (17.1.2006), naloga 3
  • nalogo najdete na priloženi datoteki: kolokvij

Besedilo naloge

Dani sta matriki

Reši enačbo AX-B=3X.

Pregled teorije

Rešitev naloge

2.kolokvij iz Linearne algebre(17.1.2006), naloga 3 - teorija

Matrika je pravokotna tabela števil sestavljena iz vrstic in stolpcev. Matrike so uporabne za zapis podatkov, ki so odvisni od dveh kategorij, in za proučevanje koeficientov sistemov linearnih enačb in linearnih transformacij. Vodoravne črte v matriki so vrstice, navpične pa stolpci. Matrika z m vrsticami in n stolpci se imenuje m×n matrika. m in n sta njeni razsežnosti. Element matrike A, ki leži v i-ti vrstici in j-tem stolpcu (kjer vrstice in stolpce navadno štejemo od 1 naprej) se imenuje element i,j, oziroma (i,j)-ti element A.

Vsota matrik

Če sta dani dve m×n matriki A in B, lahko določimo njuno vsoto A + B kot m×n matriko, ki jo izračunamo s seštevanjem istoležnih elementov, t. j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]. Na primer:

(http://www2.nauk.si/files/86/plus.jpg)

Množenje matrik

Množenje dveh matrik je izvedljivo le, če je število stolpcev prve matrike enako številu vrstic druge matrike. Če je A matrika razsežnosti m-krat-n, (m vrstic, n stolpcev) in je B matrika razsežnosti n-krat-p (n vrstic, p stolpcev), potem je njun produkt AB matrika razsežnosti m-krat-p (m vrstic, p stolpcev) definiran kot: (AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] za vsak par i in j. Primer:

(http://www2.nauk.si/files/86/množenje.jpg)

Matrično množenje ima naslednje lastnosti:

  • (AB)C = A(BC) za vse k-krat-m matrike A, m-krat-n matrike B in n-krat-p matrike C ("asociativnost").
  • (A + B)C = AC + BC za vse m-krat-n matrike A in B in n-krat-k matrike C ("distributivnost").
  • C(A + B) = CA + CB za vse m-krat-n matrike A in B in k-krat-m matrike C ("distributivnost"). Pomembno se je zavedati, da komutativnost ne velja vedno: običajno je AB ≠ BA. Lahko se zgodi tudi, da je AB = -BA: pravimo, da sta matriki antikomutativni.

2.kolokvij Linearne algebre(17.1.2006), naloga 3 - reševanje s programom Matlab

Preden začnemo z reševanjem naloge v programu Matlab, preoblikujemo enačbo. Dobimo, da je . Reševanje s programom Matlab je zelo preprosto. Najprej vpišemo podani matriki A in B, ki si jih bo program zapolnil. Za lažje računanje vpišemo še matriko I, kot identično matriko 3x3. To naredimo z ukazom eye(3). Matrike v Matlab.u pišemo tako, da napišemo ime matrike, enačaj, nato pa v oglatih oklepajih nanizamo števila. Ko želimo v novo vrstico v matriki, uporabimo podpičje.

(http://www2.nauk.si/files/86/abc.jpg)

V naslednjem koraku izračunamo matriko , ter njen inverz. Inverz naredimo s funkcijo inv. Na koncu izračunamo še .

(http://www2.nauk.si/files/86/x.jpg)

Rešitev nalogeje torej matrika X:

2.kolokvij Linearne algebre(17.1.2006), naloga 3 - reševanje s programom Matlab (2.del)

Za konec še preverimo, če se desna in leva stran enačbe res ujemata, se pravi, če smo dobili pravo rešitev.

(http://www2.nauk.si/files/86/preveri.jpg)

3.izpit iz Analiza 1(10.6.2009), naloga 2

Podatki o nalogi:

  • vir: Fakulteta za matematiko in fiziko, smer Finančna matematika, 3.izpit iz Analize 1(10.6.2009), naloga 2
  • nalogo najdete na priloženi datoteki: kolokvij

Besedilo naloge

Dana je funkcija

  1. Pokaži, da ima f niclo na intervalu [, ].
  2. Doloci definicijsko obmocje Df , limite v robovih definicijskega obmocja, stacionarne tocke, intervale narašcanja in padanja, ter nariši njen graf.

Pregled teorije

Rešitev naloge

3.izpit iz Analiza1(10.6.2009), naloga 2 - teorija

Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x ∈ A priredi funkcijsko vrednost f(x) ∈ B.

Definicijsko območje

Množica A je množica vseh podatkov, na katerih izvajamo funkcijo f; torej množica vseh podatkov, za katere je funkcija definirana. Imenujemo jo tudi definicijsko območje funkcije f. Oznaka: Df Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Zf

Ničle funkcije

Ničla funkcije f je v matematiki tisto število x, pri katerem je vrednost funkcije f enaka 0. Torej ničlo funkcije poiščemo tako, da rešimo enačbo:

Na grafu ničli ustreza presečišče z abscisno osjo.

Stacionarne točke

Stacionarna točka funkcije je točka, v kateri je odvod funkcije enak 0. To pomeni, da je tangenta v stacionarni točki vodoravna.

Poznamo tri vrste stacionanih točk:

  • Lokalni minimum je najnižja točka v neki okolici. Spoznamo ga po tem, da funkcija levo od minimuma pada, desno pa narašča, torej je odvod funkcije levo od minimuma negativen, desno pa pozitiven.
  • Lokalni maksimum je najvišja točka v neki okolici. Spoznamo ga po tem, da funkcija levo od maksimuma narašča, desno pa pada, torej je odvod funkcije levo od maksimuma pozitiven, desno pa negativen.
  • Vodoravni prevoj je točka, v kateri je tangenta vodoravna, vendar pa ni niti minimum niti maksimum. Funkcija je v okolici vodoravnega prevoja monotona (samo narašča ali pa samo pada). Predznak odvoda se v vodoravnem prevoju ne spremeni.

3.izpit iz Analiza1(10.6.2009), naloga 2 - reševanje s programom Matlab in GeoGebra

V programu geogebra najprej narišemo dano funkcijo.

(http://www2.nauk.si/files/86/funkcija.jpg)

Za reševanje a) točke pri nalogi, nariše na grafu dve točki, in sicer (,0) in (,0).

(http://www2.nauk.si/files/86/eji.jpg)

Vidimo, da na intervalu med točkama, funkcija res ima ničlo. Iz definicije funkcije vidimo, da mora biti x>0, in tako lahko s pomočjo slike določimo definicijsko območje, Df=(0,). Iz slikelahko tudi vidimo, kaj se dogaja s funkcijo na robovih območja. Vidimo, da limito ko gre x proti 0 je neskončno, limita, ko gre x proti , pa je -.

3.izpit iz Analiza1(10.6.2009), naloga 2 - reševanje s programom Matlab in GeoGebra (2.del)

Za računanje ničel in odvodov funkcije, smo uporabili program Matlab. Najprej smo definirali funkcijo s pomočjo nedefinirane spremenljivke x. Nato smo uporabili funkcijo solve, in ugotovili kje ima funkcija ničle. Za rešitev smo dobili x=1 in x=4,9216. Za računanje odvodov smo uporabili funkcijo diff. Ko smo dobili odvod funkcije smo ga uporabili v funciji solve, in dobili točke v katerih ima funkcija odvod 0. Dobili smo x=1 in x=. Tam so stacionarne točke funkcije.

(http://www2.nauk.si/files/86/3izpit2009Analiza1finMat.jpg)

V naslednjem koraku, se zopet vrnemo v program GeoGerbra in dobljene točke narišemo.

Na sliki vidimo, da sta v točki D in E res ničle funkcije, točki C in D pa sta res stacionarni točki funkcije. Sedaj lahko določimo tudi intervale padanja in naraščanja: · Funkcija pada na intervalu(0,1)(,) · Funkcija narašča na intervalu (1,)

(http://www2.nauk.si/files/86/konc.jpg)

4.izpit iz Matematike 1(13.9.2011), naloga 3

Podatki o nalogi:

  • vir: Fakulteta za matematiko in fiziko, smer Praktična matematika, 4.izpit iz Matematike 1 (13.9.2011), naloga 3
  • nalogo najdete na priloženi datoteki: kolokvij

Besedilo naloge

Določi definicijsko območje, ničle, ekstreme, asimptote, območja naraščanja in padanja ter nariši graf funkcije

f(x) =

Pregled teorije

Rešitev naloge

4.izpit iz Matematike 1(13.9.2011), naloga 3 - teorija

Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x ∈ A priredi funkcijsko vrednost f(x) ∈ B.

Definicijsko območje

Množica A je množica vseh podatkov, na katerih izvajamo funkcijo f; torej množica vseh podatkov, za katere je funkcija definirana. Imenujemo jo tudi definicijsko območje funkcije f. Oznaka: Df Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Zf

Ničle funkcije

Ničla funkcije f je v matematiki tisto število x, pri katerem je vrednost funkcije f enaka 0. Torej ničlo funkcije poiščemo tako, da rešimo enačbo:

Na grafu ničli ustreza presečišče z abscisno osjo.

Ekstrem funkcije

V matematiki je ekstrém fúnkcije točka, kjer funkcija doseže največjo vrednost (maksimum) ali najmanjšo vrednost (minimum). Realna funkcija ene realne spremenljivke doseže ekstrem v točki x0, kjer je vrednost funkcije največja oziroma najmanjša glede na dano množico vrednosti neodvisne spremenljivke x. Ta množica vrednosti je lahko poljubna, najpogosteje pa v matematiki srečamo naslednje primere:

  • Lokalni minimum ali relativni minimum je točka, kjer funkcija doseže najmanjšo vrednost v neki (majhni) okolici.
  • Globalni minimum ali absolutni minimum je točka, ker funkcija doseže najmanjšo vrednost sploh (na celotnem definicijskem območju).
  • Lokalni maksimum ali relativni maksimum je točka, kjer funkcija doseže največjo vrednost v neki (majhni) okolici.
  • Globalni maksimum ali absolutni maksimum je točka, ker funkcija doseže največjo vrednost sploh (na celotnem definicijskem območju).

Če je funkcija f zvezna in odvedljiva, potem je vsak lokalni ekstrem tudi stacionarna točka te funkcije: to pomeni, da je v tej točki tangenta vodoravna in da je odvod funkcije enak 0. Zaradi tega si pri iskanju maksimumov in minimumov pogosto pomagamo z odvodom. Potrebno pa je nekaj previdnosti, saj je odvod lahko enak nič tudi v drugih točkah (vodoravni prevoj). Pravimo, da je pogoj potreben vendar ne zadosten pogoj za eksistenco ekstrema.

Asimptota

Asimptota je v matematiki krivulja (ali še pogosteje premica), ki se v neskončnosti približuje drugi krivulji, ne da bi jo dosegla. Značilne funkcije, ki imajo asimptote, so racionalne funkcije, hiperbole in druge.

4.izpit iz Matematike 1(13.9.2011), naloga 3 - reševanje s programom Matlab in GeoGebra

V programu geogebra najprej narišemo dano funkcijo. Iz definicije funkcije vidimo, da mora biti x-2, zato narišemo tudi funkcijo x=-2, ki je v našem primeru asimptota.

(http://www2.nauk.si/files/86/funkcija2.jpg)

Za ničle in ekstreme si pomagamo z programom Matlab. Najprej smo definirali funkcijo s pomočjo nedefinirane spremenljivke x. Nato smo uporabili funkcijo solve, in ugotovili kje ima funkcija ničle. Za rešitev nismo dobili realnih ničel, kar se sklada s sliko narisano v programu GeoGebra. Za računanje odvodov smo uporabili funkcijo diff. Ko smo dobili odvod funkcije smo ga uporabili v funciji solve, in dobili točke v katerih ima funkcija odvod 0.

(http://www2.nauk.si/files/87/4izpitmat1.jpg)

4.izpit iz Matematike 1(13.9.2011), naloga 3 - reševanje s programom Matlab in GeoGebra (2.del)

Za rešitev smo dobili x=-7 in x=3. Tam so stacionarne točke in lokalni ekstremi funkcije.

(http://www2.nauk.si/files/86/konec.jpg)

Na sliki vidimo, da točki res predstavljata stacionarne točke. Sedaj lahko določimo tudi intervale padanja in naraščanja:

  • Funkcija narašča na intervalu (-,-7) (3,)
  • Funkcija pada na intervalu (-7,-2) (-2,3)

4.izpit iz Matematike 1 (13.9.2011), naloga 4

Podatki o nalogi:

  • vir: Fakulteta za matematiko in fiziko, smer Praktična matematika, 4.izpit iz Matematike 1 (13.9.2011), naloga 4
  • nalogo najdete na priloženi datoteki: kolokvij

Besedilo naloge

Izračunaj prostornino vrtenine, ki jo dobimo, če krivuljo zavrtimo okoli osi x na intervalu od 1 do 2.

Pregled teorije

Rešitev naloge

4.izpit iz Matematike 1 (13.9.2011), naloga 4 - teorija

vrtenina

Lik, ki ga določa funkcija y = f(x) definirana nad intervalom [a,b] z abscisno osjo, naj se vrti okrog nje. Na ta način dobimo telo, ki mu pravimo vrtenina. Prostornino vrtenine izračunamo:

4.izpit iz Matematike 1 (13.9.2011), naloga 4 - reševanje s programom SMath Studio

Formula za izračun vrtenin okoli x osi, na intervalu od a do b, se glasi .

V programu SMath Studio, izračunamo določen integral na intervalu od 1 do 2, funkcije y na kvadrat. Ker nam program ne vrže 'lepega števila' ga v naslednjem koraku olepšamo. To storimo tako, da rezultat kopiramo in mu dodamo enačaj. Tako nam bo program sam vrgel rezultat v obliki decimalnega števila. Za konec število delimo še s in tako dobimo končni rezultat V=0,2123.

(http://www2.nauk.si/files/86/vrt.jpg)

.

4.kolokvij iz Matematike 1(6.6.2011), naloga 3

Podatki o nalogi:

  • vir: Fakulteta za matematiko in fiziko, smer Praktična matematika, 4.kolokvij iz Matematike 1(6.6.2011), naloga 3
  • nalogo najdete na priloženi datoteki:kolokvij

Besedilo naloge

Izračunaj prostornino telesam ki ga dobiš, če zavrtiš (omejeni) lik, ki ga omejujeta premica y=x in parabola , okrog abscisne osi.

Pregled teorije

Rešitev naloge

4.kolokvij iz Matematike 1(6.6.2011), naloga 3 - teorija

vrtenina

Lik, ki ga določa funkcija y = f(x) definirana nad intervalom [a,b] z abscisno osjo, naj se vrti okrog nje. Na ta način dobimo telo, ki mu pravimo vrtenina. Prostornino vrtenine izračunamo:

4.kolokvij iz Matematike 1(6.6.2011), naloga 3 - rešitev naloge

Najprej v programu GeoGebra narišemo premico in parabolo, ter označimo njuna presečišča z ukazom presečišče dveh objektov. Pri tem ukazu kliknemo na prvi in nato na drugi objek, program pa nam kot presečišča ustvari nove točke. V našem primeru sta to točki A in B.

(http://www2.nauk.si/files/86/integr.jpg)

Ker sta presečišči točki A=(0,0) in B=(1,1), bomo za izračun prostornine lika, uporabili določen integral, na intervalu od 0 do 1. Formula za izračun vrtenin okoli x osi, na intervalu od a do b, se glasi . Iz naše slike vidimo, da bomo za izračun našega volumna, izračunali dva določena integrala, ki jih bomo nato odšteli med seboj. Za izračun integralov smo uporabili program SMath Studio, ki nam omogoča računanje določenih integralov. Ker nam program ne ohranja števila , smo na koncu še delili rezultat s pi, da smo dobili rezultat V=0,2.

(http://www2.nauk.si/files/86/int.jpg)

Poklicna matura, zimski rok 2005(13.2.2006), 1.del, naloga 5

Podatki o nalogi:

  • vir: Poklicna matura, zimski rok 2005(13.2.2006), 1.del, naloga 5
  • nalogo najdete na priloženi datoteki: kolokvij

Besedilo naloge

Narišite krivuljo in premico x=1 ter zapišite koordinati njunega presečišča.

Rešitev naloge

Poklicna matura, zimski rok 2005(13.2.2006), 1.del, naloga 5 - reševanje s programom GeoGebra

V programu narišemo krivuljo in premico, ter označimo njuno presečišče z ukazom presečišče dveh objektov. Pri tem ukazu enostavno kliknemo na prvi in nato na drugi objek, program pa nam kot presečišča ustvari nove točke. V našem primeru je to točka A.

(http://www2.nauk.si/files/86/pres.jpg)

Na sliki vidimo, da je njuno presečišče točka A=(1,1).

Poklicna matura, zimski rok 2005(13.2.2006), 1.del, naloga 9

Podatki o nalogi:

  • vir: Poklicna matura, zimski rok 2005(13.2.2006), 1.del, naloga 9
  • nalogo najdete na priloženi datoteki: kolokvij

Besedilo naloge

Določite ničle polinoma in skicirajte njegov graf.

Pregled teorije

Rešitev naloge

Poklicna matura, zimski rok 2005(13.2.2006), 1.del, naloga 9 - teorija

Polinom

Polinom stopnje n je vsaka funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike: Pri tem so koeficienti in poljubna realna števila, koeficient an pa mora biti različen od 0 (polinom je stopnje n samo, če potenca xn v polinomu res nastopa).

Ničla polinoma

Če je število a ničla polinoma p, je ostanek pri deljenju polinoma p s polinomom (x − a) enak 0 (deljenje se izide brez ostanka). Torej lahko v tem primeru polinom p zapišemo v obliki: p(x) = (x − a) k(x)

Poklicna matura, zimski rok 2005(13.2.2006), 1.del, naloga 9 - reševanje s programom GeoGebra

V programu narišemo polinom ter premico y=0. Označimo njuna presečišča z ukazom presečišče dveh objektov. Pri tem ukazu kliknemo na prvi in nato na drugi objek, program pa nam kot presečišča ustvari nove točke. V našem primeru sta to točki A=(0,0) in B=(3,0), ki sta ničli funkcij. Se pravi ima polinom ničli pri x=0 in x=3.

(http://www2.nauk.si/files/86/9.jpg)

Poklicna matura, jesenski rok 2004(28.8.2004), 2.del, naloga 2

Podatki o nalogi:

  • vir: Poklicna matura, jesenski rok 2004(28.8.2004), 2.del, naloga 2
  • nalogo najdete na priloženi datoteki: kolokvij

Besedilo naloge

Dan je polinom

  1. Določite ničle polinoma p(x).
  2. Skicirajte graf polinoma p(x).
  3. Rešite enačbo p(x)=2.

Pregled teorije

Rešitev naloge

Poklicna matura, jesenski rok 2004(28.8.2004), 2.del, naloga 2 -teorija

Polinom

Polinom stopnje n je vsaka funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike: Pri tem so koeficienti in poljubna realna števila, koeficient an pa mora biti različen od 0 (polinom je stopnje n samo, če potenca xn v polinomu res nastopa).

Ničla polinoma

Če je število a ničla polinoma p, je ostanek pri deljenju polinoma p s polinomom (x − a) enak 0 (deljenje se izide brez ostanka). Torej lahko v tem primeru polinom p zapišemo v obliki: p(x) = (x − a) k(x)

Poklicna matura, jesenski rok 2004(28.8.2004), 2.del, naloga 2 -reševanje s programom GeoGebra

V programu narišemo polinom in premice y=0 ter y=2. Označimo presečišča polinoma in premice y=0 z ukazom presečišče dveh objektov. Pri tem ukazu kliknemo na prvi in nato na drugi objek, program pa nam kot presečišča ustvari nove točke. V našem primeru sta to točki D=(-2,0) in E=(1,0). Nato na enak način označimo đe presečišča polinoma in premice y=2, ki so v našem primeru točke A=(-1.73,2), B=(0,2) in C=(1.73,2). V teh točkah je izpolnjena enačba p(x)=2.

(http://www2.nauk.si/files/86/2del.jpg)
0%
0%